Théorème de Ménélaus

[yann06]

Bonsoir

On considère un triangle ABC
les points M,N et P sont trois points situés respectivement sur les droite (BC) (CA) et (AB) e
t distincts de A , B et C

on cherche à déterminer une condition nécessaire et suffisante d'alignement des points M,N et P

1 ) a ) Justifier l'existence d'un réel a tel que
d'un réel b tel que
un réel c tel que


2 ) Justifier que a,b et c sont différents de 1

3 a) Démontrer que

[Lostounet]

Salut,

Où sont les points quand a=b=c=1 ?

[yann06]

Salut Lostounet ( super sympa de ta part de répondre aussi tard ! )

--> donc tout d'abord merci

[yann06]

les vecteurs

et sont colinéaires si et seulement si

[Lostounet]

Mais si a = 1, PA=1 PB = PB
Et si b=1?

[yann06]

si a = 1
en fait on a deux vecteurs qui sont égaux ?
c'est bien cela ?

[Lostounet]

En fait il faut trouver un "problème" géométriquement qui empêche a, b et c de valoir 1.
On regarde donc est-il possible d'avoir PA=PB (en vecteurs) ?

[yann06]

Les coordonnées sont proportionnelles pour 2 vecteurs colinéaires

X = k X'
et
Y = k Y'

[yann06]

en fait , je reviens sur ton précédent post

si a = 1 PA = 1

je ne vois pas pourquoi PA = 1

[Lostounet]

Euh oui.. mais ici nous ne travaillons pas avec des coordonnées.
Le plan n'est pas muni d'un repère.

Attention c'est PA=PB j'ai pas dit PA=1

[yann06]

moi je confonds tout
je cherche à travailler avec les coordonnées
et je pensais que le a , c'est le k de

[yann06]

Lostounet

j'ai mal écrit l'énoncé : je n'ai pas précisé

le plan est muni du repère

[Lostounet]

Ok !

Quelles sont les coordonnées de A et B et C dans ce repère?
Celles de P si a=1 ?

[yann06]

donc , on travaille avec les coordonnées ? non ?

[Lostounet]

Apperemment oui.

Ce théorème peut être prouvé avec des outils de géométrie classique, ou avec des vecteurs et des coordonnées. C'est une des premières applications intéressantes des vecteurs.

[yann06]

A a pour coordonnées
B a pour coordonnées
C a pour coordonnées

[yann06]

si a = 1

on a

[Lostounet]

A a pour coordonnées
B a pour coordonnées
C a pour coordonnées

Oui mais ceci est valable pour tout exercice.
Dans celui-ci, nous pouvons faire plus précis: A est l'origine du repère. Donc A(0;0)

Et B est (0;1) car AB est la graduation des axes des abscisses.
Et C?

[yann06]

euh oui , exact
en plus j'ai déjà vu ce genre d'exercice
excuse moi Lostounet

[yann06]

A est l'origine du repère donc A (0,0)
B (0,1)
C ( 0,1)

comme on a dit un repère

oui, évidemment