Un test de dépistage

[schtongy]

Salut à tous !
J'aurai besoin d'aide pour cet exercice de probabilité :

Considérons une population de 1000 personne dans laquelle on veut dépister une maladie dont on sait qu'elle touche statistiquement qu'elle touche 1% de la population
On considère que les individus sont touché par la maladie de manière indépendante.
Méthode A : on effectue les 1000 analyses individuelles
Méthodes B : on répartit les 1000 individus en n groupe de r (donc n*r=1000) prélèvements et on procède à une analyse du mélange, ce qui conduit donc à n analyses.
On peut alors obtenir un groupe négatif : aucun des membres du groupe n'est malade , ou un groupe positif, auquel cas on procède à une analyse individuelle pour les r personne composant le groupe

1) étude du nombre de groupe positifs

a) Quelle est la probabilité qu'un groupe soit négatif ? En déduire la probabilité qu'un groupe soit positif.
b) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de groupes positifs. Caractériser la loi de X et en déduire son espérance mathématique

2) étude du nombre total d'analyses à effectuer avec la méthode B

a) Soit Y la variable aléatoire égale au nombre total d'analyse effectués avec la méthode B. Calculer l'espérance mathématique de Y.
b) On rappelle que pour n appartiens à l'ensemble des entiers naturels avec 0 exclu, et t proche de 0, (1-t)^n environ égale à 1-nt.
Montrer que 1-r/100 est une valeur approchée de 0,99^r, puis en utilisant cette valeur approchée, démontrer que E(Y) environ égale à 10(r+100/r)

3) comparaison des deux méthodes

a) Etudier la fonction f définie sur )0;1000) par f(x)=10(x+100/x) et dresser son tableau de variation
b) Résoudre l'équation f(x)= 1000 et donner une valeur arrondie à l'unité des solutions. A quoi correspondent les valeurs trouvées en ce qui concerne la comparaison des deux méthodes de dépistage ?
c) résoudre f(x) inférieur a 1000 et en déduire les valeurs de r qui minimise le coût du dépistage.
d) La valeur de r qui minimise le coût du dépistage est-elle la même si la maladie touche 0,01 % de la population? Justifier

merci d'avance pour votre aide. ^^