Terminaleétude d'une suite définie par une relation de récurrence

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hermine1995
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terminaleétude d'une suite définie par une relation de récurrence

par hermine1995 » 01 Nov 2009, 18:52

Bonjour,
j'ai commencé cet exercice, notamment la première partie mais je n'arrive pas à comprendre la 2ème . Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
Énoncé:
on considère la suite récurrente (Un), de premier terme U1=0 et telle que , pour tout entier naturel n non nul,
Un+1=1/(2-Un)
I) a) en utilisant un tableur ou votre calculatrice, donner les 40 premiers termes de cette suite
b) Représenter graphiquement le nuage de point
c) En l'observant, quelles conjectures peut-on faire sur le comportement de cette suite ?
II) On cherche à déterminer une formule qui permette de calculer Un en fonction de n.
a) Compléter le tableau de valeurs en faisant figurer le calcul de 1/(Un-1) pour les 40 premiers termes de la suite (un)
b) conjecturer l'expression explicite de un en fonction de n.

III) Démontrer la formule conjecturée par récurrence .

Voila, dans la partie I) j'ai réussi a calculer les 40 premiers termes ( de 0 jusqu'a 39 inclu)
puis j'ai conjecturer en regardant mon graphe que la suite (Un) convergeait vers 1.
Concernant la partie II), je ne comprend pas, en la rentrant dans ma calculette je ne trouve que des valeurs négatives...
Je n'arrive ni à conjecturer qqchose donc je ne l'ai pas démontré pas récurrence...
S'il vous plait pouvez vous m'aider?
merci d'avance



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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 01 Nov 2009, 19:25

As tu vraiment mis dans ton tableur une colonne 1/(Un-1) pour les 40 premiers termes de la suite (un) ?

Que vaut ce -1/(Un-1) en fonction de n ?

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par hermine1995 » 01 Nov 2009, 19:36

oui je l'ai vraiment mise , mais au lieu de trouver qqchose qui coïncide avec l'autre, je trouve des valeurs négatives ... Je ne vois pas le lien avec l'autre et encore moins comment répondre à la question d'après...

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par Ericovitchi » 01 Nov 2009, 19:48

pas très convaincant ton explication.

moi j'ai trouvé -1/(Un-1) = n tout simplement

hermine1995
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par hermine1995 » 01 Nov 2009, 19:58

je suis d'accord mais quand on regarde pas tout à fait non? Je trouve -1/(Un-1)=n-1 ... mon tableur calcul n+1 au lieu de n...
si ce que vous dites est juste dans ce cas on remplace le n par cette valeur?

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par Ericovitchi » 01 Nov 2009, 20:04

non pour moi c'est bien -1/(Un-1) = n
D'ailleurs fait Un=0 c'est bien pour n=1

maintenant il faut que tu calcules Un en fonction de n.

hermine1995
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par hermine1995 » 01 Nov 2009, 20:10

je trouve Un= (-1/n)+1 ? comment le démontrer?

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par Ericovitchi » 01 Nov 2009, 20:28

on te dis de la démontrer par récurrence. tu connais les raisonnements pas récurrence. Tu vérifies que c'est vrai pour n=1 tu supposes que c'est vrai pour n et tu vérifies que c'est encore vrai pour n+1

hermine1995
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par hermine1995 » 01 Nov 2009, 21:51

d'accord :)
Pouvez vous me dire si c'est bon?
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,
Un=(-1/n)+1
Initialisation
Au rang n=1 Un=0
Donc la propriété est vraie au rang n=1
Hypothèse:
Supposons la propriété vraie pour un n donné, montrons qu'elle est vrai aussi au rang n+1
Un+1=(-1/n+1)+1
=1/(2-un)
Donc la prop est vraie au rang n+1
Donc la prop est vraie au rang n et Un =(-1/n)+1

 

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