Convergence d'une suite définie par récurrence

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Nicolas123
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convergence d'une suite définie par récurrence

par Nicolas123 » 01 Fév 2013, 17:58

Bonjour,

Une suite est définie par A(1) = racine(2) et A(n+1)= racine(2 + An) (où A(n) est le n-ième terme de la suite)
Quand n tend vers l'infini, ça fait donc une sorte d'addition infinie de racines de 2... racine( 2 + racine( 2 + racine( 2 + ...)
Je dois montrer, premièrement, que cette suite est croissante et bornée supérieurement par 3 (sans que 3 soit nécessairement sa plus petite borne supérieure). Je dois ensuite calculer la limite de la suite quand n tend vers l'infini.
Je n'y arrive pas! j'ai essayé, sans succès, de trouver une façon d'exprimer le n-ième terme sans le définir par récurrence... je ne sais pas si cela est nécessaire, ou même possible.
Merci d'avance!



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chan79
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par chan79 » 01 Fév 2013, 18:01

Nicolas123 a écrit:Bonjour,

Une suite est définie par A(1) = racine(2) et A(n+1)= racine(2 + An) (où A(n) est le n-ième terme de la suite)
Quand n tend vers l'infini, ça fait donc une sorte d'addition infinie de racines de 2... racine( 2 + racine( 2 + racine( 2 + ...)
Je dois montrer, premièrement, que cette suite est croissante et bornée supérieurement par 3 (sans que 3 soit nécessairement sa plus petite borne supérieure). Je dois ensuite calculer la limite de la suite quand n tend vers l'infini.
Je n'y arrive pas! j'ai essayé, sans succès, de trouver une façon d'exprimer le n-ième terme sans le définir par récurrence... je ne sais pas si cela est nécessaire, ou même possible.
Merci d'avance!

salut
que dire de An+1 si An<2 ?

Nicolas123
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par Nicolas123 » 01 Fév 2013, 18:42

Si An < 2, alors A(n+1) < racine(4), donc si An < 2, A(n+1) < 2, et comme on sait que A1 < 2, on a démontré que An < 2 pour tous les n... merci pour cette piste.
Ça me permet de répondre à la première partie de la question (si < 2, alors < 3) et d'entrevoir intuitivement que la limite est sans doute 2...
Mais comment calculer formellement cette limite?

Carpate
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par Carpate » 01 Fév 2013, 19:29

Nicolas123 a écrit:Si An < 2, alors A(n+1) < racine(4), donc si An < 2, A(n+1) < 2, et comme on sait que A1 < 2, on a démontré que An < 2 pour tous les n... merci pour cette piste.
Ça me permet de répondre à la première partie de la question (si < 2, alors < 3) et d'entrevoir intuitivement que la limite est sans doute 2...
Mais comment calculer formellement cette limite?

Bonjour,
Tu peux démontrer par récurrence que comme on te le demande sans montrer que
2 est effectivement la limite de qui, en tant que suite croissante et majorée admet une limite.
Supposons :




car ,
Ensuite, pour trouver cette limite : l , tu écris qu'en n infini, et sont tous deux égaux à l

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chan79
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par chan79 » 01 Fév 2013, 19:52

Nicolas123 a écrit:Bonjour,

Une suite est définie par A(1) = racine(2) et A(n+1)= racine(2 + An) (où A(n) est le n-ième terme de la suite)
Quand n tend vers l'infini, ça fait donc une sorte d'addition infinie de racines de 2... racine( 2 + racine( 2 + racine( 2 + ...)
Je dois montrer, premièrement, que cette suite est croissante et bornée supérieurement par 3 (sans que 3 soit nécessairement sa plus petite borne supérieure). Je dois ensuite calculer la limite de la suite quand n tend vers l'infini.
Je n'y arrive pas! j'ai essayé, sans succès, de trouver une façon d'exprimer le n-ième terme sans le définir par récurrence... je ne sais pas si cela est nécessaire, ou même possible.
Merci d'avance!

Tu as démontré que An était croissante ?

Nicolas123
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par Nicolas123 » 02 Fév 2013, 00:06

chan79 a écrit:Tu as démontré que An était croissante ?


Oui, ça y est; à la lumière de vos explications, j'ai réussi tout le problème. Merci à vous deux, chan79 et Carpate!

 

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