Étude d'une suite définie par récurrence

[checkmaths]

Bonjour ! Avant ça, voici l'exercice (niveau TS) :



Pour le sens de variation de la suite :

• Est-ce que la réponse "En utilisant un tableur, on remarque que la suite n'est pas monotone." est suffisante pour répondre à la question ?
• Faut-il plutôt répondre "En utilisant un tableur, on remarque que la suite est croissante sur et décroissante à partir du rang 8." ?
• Faut-il plutôt juste répondre "En utilisant un tableur, on remarque que la suite est décroissante à partir du rang 8." ?
• Faut-il que je démontre ses résultats sans le tableur ?

Pourriez-vous m'aider svp ?

[pascal16]

pour montrer la décroissance, il va falloir de toute façon partir au moins de U8. Le calcul ne semble pas simple.

montrer simplement que Un est positive et majorée va te donner la limite

[hdci]

Bonjour,

L'utilisation d'un tableur n'est en aucun cas suffisante pour répondre à la question.
Par exemple, je te suggère de regarder avec un tableur le comportement de la suite suivante : .
Avec un tableur tu va voir qu'aux alentours de le terme fait "plusieurs milliards" (en positif ou en négatif, tout dépend de la "précision" utilisée par le tableur).
Alors qu'avec le calcul, on s'aperçoit que la suite est constante et que pour tout n (soit environ 0,90909), très très loin des milliards.
C'est tout simplement parce que le tableur ne sait pas gérer un nombre infini de décimales : il fait donc des arrondis et les arrondis s'amplifient ici très très rapidement (en fait l'arrondi se décale de 2 décimales à chaque rang puisqu'on multiplie par 100).

Dans ton cas, tu conjectures qu'elle est décroissante à partir du rang 8. Mais as-tu vérifié ce qui se passe au rang 15 159 356 293 ...?

Par contre le tableur peut te donner une idée.

Pour étudier le sens de variation d'une suite, on peut étudier le signe de : s'il est négatif, la suite est décroissante, s'il est positif, la suite est croissante. Tu verras que le signe est négatif si u_n est supérieur à une certaine valeur fonction de . Il n'y a plus qu'à vérifier que c'est le cas pour puis faire un raisonnement par récurrence.

[mehdi-128]

Bonjour, il faut faire une récurrence en initialisant pour comme le suggère hdci.

Il faut montrer ;

Pour l'initialisation, calculer :

[checkmaths]

Pas facile de déduire le signe de cette expression... On est obligé d'étudier le signe de la suite et pour ça, d'après le tableur, on n'a pas vraiment le choix de faire 2 raisonnements par récurrence :

• une récurrence finie sur avec

• une récurrence sur avec (le nous servira plus tard pour justifier la convergence de la suite )

Ainsi, on pourra montrer que :

• est croissante sur en montrant les 2 cas suivants :
  
  • si , alors
  • si ou , alors

• est décroissante sur par récurrence sur avec

Mais difficile de trouver toutes ces hypothèses sans le tableur...
Alors peut-être qu'il faut chercher la formule explicite de la suite ?
Soit .

Ainsi donc :

Si on refait le calcul, on a , sauf qu'il me paraît très difficile de déduire le signe de cette expression et de voir sans le tableur que le signe change à à cause de la somme...
Dois-je malgré tout faire la version avec les raisonnements par récurrence et disjonction de cas ?

[pascal16]

supposons Un entre 1 et 2 pour n>10.

init : ok avec le tableur
récurrence Un+1 est entre 1 et 1+2/10 donc entre 1 et 2.


Pour n >10 Un majorée en valeur absolue par 2, donc |U(n+1)-1|< 2/(n+1), c'est à dire Un tend vers 1