DM sur les vecteurs

[OniHanzo]

Bonsoir,

Comme énoncé dans le titre du sujet il s'agit d'un DM sur les vecteurs
Il est composé de deux exercices :

-le premier est composé de 4 points A,B,C et D non alignés puis on nous pose des questions sur un point M que l'on doit placer (un ensemble de points pour être précis) suivant certaines consignes comme "les vecteurs MA+MB et MC+MD sont colinéaires" ... etc
Mais j'ai réussi le 1 en utilisant les milieux et la relation de Chasles (youpi c'est deja ca...)

-le second on nous pose (sans aucune figure):
"soit (0;i;j) un repère orthonormé du plan et les points A(2;1), B(7;1) et C(5;4).
on note IJKL un rectangle construit sur les côtés du triangle ABC: I e [AB], J e [AC],K e [CB] et L e [AB]. a)Déterminer la position du point I sur le segment [AB] pour que IJKL soit un carré.
b) Déterminer la position du point I sur [AB] pour que l'aire de IJKL soit maximale."

Voila et la ... je coince ... j'ai utiliser géogébra pour faire varier le point I (j'ai réussi mais je ne sais pas comment le prouver), j'ai essayer d'utiliser Thales ou Pythagore avec AI=x pour trouver IJ en fonction de x mais je ne trouve pas, ou j'ai cherché sur plusieurs sites et lecons mais aucun ne repond clairement a la question et encore moins en utilisant les vecteurs ...

Donc s'il vous plait je demande (meme implore s'il le faut) votre aide parce que la je sais plus quoi faire
Merci d'avance pour votre aide qui je pense sera précieuse

[Lostounet]

Salut,
On peut commencer par le 2e exo

-le second on nous pose (sans aucune figure):
"soit (0;i;j) un repère orthonormé du plan et les points A(2;1), B(7;1) et C(5;4).
on note IJKL un rectangle construit sur les côtés du triangle ABC: I e [AB], J e [AC],K e [CB] et L e [AB].

Bon déjà... j'ai pas trop compris comment on pourrait construire un tel rectangle ? ABC est un triangle aux angles non obtus... comment pourrait-on placer I et L tous les deux sur [AB] ?

Je pense que ton rectangle, c'est en fait IJCL (donc que K c'est en fait C). Es-tu d'accord avec moi ou j'ai tort? Je peux voir ta figure Geogebra?

[OniHanzo]

(merci d'avoir répondu)

oui le triangle ABC ne possède pas d'angles obtus mais il faut penser au triangle rectangle qui n'en a pas non plus
si I(xi;1) et J(xj;1) on peut tracer un rectangle quand meme

Et je viens de relire l'énoncé mais c'est bien IJKL (malheureusement)

[chan79]

salut
ça doit être un truc comme ça


on peut montrer que AI=IJ=
il y a un angle de 45° en A.

[Lostounet]

si I(xi;1) et J(xj;1) on peut tracer un rectangle quand meme

On ne peut pas avoir cela vu qu'aucun point du segment [AB] et aucun point du segment [AC] n'a une ordonnée égale à 1... et vu qu'on a I sur [AB] et J sur [AC] ..

Ah lala :p du coup B(7;1) et non pas (1;7) J'ai mal lu les coordonnées de départ désolé !

[OniHanzo]

oui c'est exactement ca chan !

et désolé je ne voulais pas dire J mais plutot L et si on connait l'ordonnées de I et L puisqu'ils appartiennent a [AB]

et oui B(7;1) c'est ce que j'ai dit :p et c'est pas grave ^^

[Lostounet]

salut
ça doit être un truc comme ça


on peut montrer que AI=IJ=
il y a un angle de 45° en A.

Bon maintenant qu'on est d'accord sur la figure, plusieurs méthodes sont possibles. Faut-il obligatoirement passer par les vecteurs?

[OniHanzo]

Malheureusement oui nous sommes obligés de passer par les vecteurs --'
Mais au moins on est d'accord sur la figure ^^

[Lostounet]

Et que sais-tu sur les vecteurs? Le produit scalaire? L'équation cartésienne de droites ? Le vecteur directeur?

[OniHanzo]

désolé du retard ma box était en pls :p

équation cartésienne de droite: Betax-alphay+c=0 (si je ne me trompe pas)
produit scalaire ? inconnu
vecteur directeur c'est la base de la leçon non ? (c'est une vraie question!)

[Lostounet]

Voici comment je procèderais !

comment raisonner ?

Il faut traduire toutes les contraintes de la figure:
1) le fait que J est sur (AC) et le fait que K est sur (BC)
2) le fait que la droite (JK) est horizontale
3) le fait que si IJKL est un rectangle, il faut et il suffit que IJ = JK pour que ce soit un carré


1) Traduction de J sur (AC) et K sur (BC), tu peux aussi utiliser les vecteurs ici
(AC) a pour équation y = x - 1
(CB) a pour équation y = -3/2x + 23/2

Si on note J(x;y) puisque J est sur la droite (AC), on a y = x - 1, donc que J(x;x-1)
Si on note K(a;b), puisque K est sur la droite (CB), K(a ; -3/2a+23/2)

Nous venons de traduire l'appartenance de J et K aux droites.

1) bis on projette les points I et L
Soit I le projeté de J sur [AB] il a pour coordonnées (x ; 1)
Soit L celui de K, il a pour coordonnées (a ; 1)



2) Traduction de (JK) horizontale
Pour cela, on doit avoir J et K de même ordonnée!

Donc -3/2a + 23/2 = x - 1

Nous avons donc bien formé les quatre sommets de IJKL! Cependant pour que ce quadrilatère IJKL soit aussi un carré, comme c'est un rectangle il faut que ses deux cotés consécutifs IJ et JK soient de même longueur !

3) Traduction de IJ = JK
Or
Et JK = a - x
On doit donc nécessairement avoir x - 2 = a - x
donc que 2x = a + 2


Nous obtenons donc un système de deux équations à deux inconnues:
2x = a + 2
-3/2a + 23/2 = x - 1

La solution est bien visible sur la figure de Chan ! (a toi de jouer)


Bon il y a certainement plus rapide ! Et ne t'exaspère please pas si tu veux faire cette méthode que je viens de t'exposer avec des vecteurs, ça marche exactement pareil: tu peux relier a et x en utilisant le fait que le vecteur JK a une ordonnée nulle, etc

[Lostounet]

L'avantage de cette méthode un peu chirurgicale, est qu'elle permet de répondre aux deux questions en même temps ! Car la deuxième, ça revient exactement à maximiser le produit IJ*JK = (x - 2)(a - x)

Ce que l'on sait faire a priori Et qu'en le faisant... on a comme un souvenir lointain ......

[OniHanzo]

ok ! j'a bien tout suivi et tout verifie mais ... les reultats pour x et a sont tres etranges
je crois que je me suis trompé pour le systeme

[Lostounet]

As-tu résolu le système? (Mon système)

Que trouves-tu pour x et a? En valeur exacte puis approchée? C'est un système linéaire à 2 inconnues ... pas difficile...

[OniHanzo]

oui j'ai résolu le systeme et je trouve x=62 et a=42

je crois que je me suis VRAIMENT planté la

(j'essaye en ce moment de refaire le systeme)

[Lostounet]

Euh c'est énorme comme valeurs.
Tu peux mettre le détail de tes calculs...

[OniHanzo]

je viens de refaire le calcul maintenant je trouve x=7/2 et a=5
C'est normal ?

[OniHanzo]

mais du coup c'est pour le petit 2 et non le petit 1 je me trompe ?

[Lostounet]

Non c'est pas ça et... c'est pas une devinette..
Tu peux détailler la résolution de ton système?

On est toujours au 1

[OniHanzo]

je sais que c'est pas une devinette

je commence le systeme en multipliant par -2 la seconde équation afin de ne plus avoir x
et ensuite j'ai soustrait la seconde equation à la premiere ...
comme d'habitude