voilà...
1er exo 
3 points)
I ) soit
.
\in E^2)
on pose :
1)a) vérifier que
\in E^2)
:
(b\sqrt{2}-1))
.
(0.25) b) en déduire que
est une L.C.I dans E .
(0.25)2) mq
)
est un groupe abélien .
(0.5)II)
)
est l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 . on rappelle que
,+,\times))
est un anneau unitaire et que
,+,.))
est un ev réel .
soit
=\begin{pmatrix} \sqrt{2}-a & a \\ a & \sqrt{2}-a \end{pmatrix}\;/\; a\in E \right})
on pose :
1)a) vérifier que :
= I + \frac{a}{\sqrt{2}}A)
(0.5) b) mq
est une partie stable de
,\times))
(0.5)2) soit l'application :
 \to (\mathcal{F}, \times) \\ a \to \phi(a)=M(a))
a) mq
est un isomorphisme .
(0.5)b) en déduire la structure de
)
(0.5)-------
2ème Exo : (3,5 points)
- soit a un nombre complexe différent de i et -i .
I/ 1 )a) vérifier que u=a+i une solution de (E) :
(1+i)z+(1+a^2)i=0)
(0.25) b) déterminer v l'autre solution .
(0.25) 2) supposons : |a|=1
a) mq
.
(0.25) b) vérifier :
+2i])
(0.25) c) en déduire :
\equiv \frac{1}{2} arg(a) + \frac{\pi}{4}[\pi])
(0.5)3) mq :
(0.5)II) le plan complexe P est muni du repère orthonormé
)
.
soit m un réel strictement supérieur à 2 et
)
l'ensemble des points M(a) du plan P tq : |u|+|v| = m
1) mq
est une ellipse de centre o .
(0.5) 2) on pose a=x+iy tq x et y sont deux réels .
a) mq :
y^2 = \frac{m^2}{4}-1)
est une équation cartésienne de
.
(0.25)b) tracer
)
.
(0.25)3) soient
)
et
)
les sommets de
mq que la droite (AB) est tangente à
)
(0.5)--------
Exo 3 : (3 points)
1) soit (E) : 195x-232y=1
a) déterminer pgcd(195,232)
(0.5) b) vérifier que
 / k\in Z})
(0.5) c) déterminer l'unique d entier naturel vérifiant : 195d \equiv 1 [232]
(0.25)2)mq 233 est premier .
3) soit A=[|0,232|]
)
tq
)
est le reste de la division euclédienne de
par
.
a)mq que
\in A^2)
:
=f(b) \rightarrow a=b)
(0.5)b)
\in A^2)
tq
=b)
, déterminer a en fonction de b .
(0.5)c) en déduire que f est bijective puis déterminer
.
(0.5) (on admet (
)
-------
Exo 3 : (10,5 points)
I/ on considère la fct g définie sur R par :
=1+(x-1)e^x)
1) mq
:
\geq 0)
(0,5)
2) mq
est l'unique solution de
=0)
.
(0.25)II ) soit f une fct définie sur R par :
 = \frac{x}{e^x-1})
;
 = 1)
soit C la courbe représentaive de f dans un repère orthonormé
)
1) calculer les limites
)
et
+x))
. (0.5)
2) mq f est continue en 0 .
3) a) calculer
)
.
(0.5) b) en déduire les variations de f .
4) soit
 = \int_0^x te^{-t} dt)
tq x un réel .
a) calculer
)
.
(0.5) b) mq :
 \leq \frac{x^2}{2} e^{-\frac{x-|x|}{2})
.
(1pt) c) mq
:
.
(0.5) d) en déduire que f est dérivable en 0 et
= \frac{-1}{2})
.
5) a) mq
:
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?3$f"(x) = \frac{e^x}{(e^x-1)^3} (e^x(x-2)+2+x))
.
(0.5) b) étudier le signe de
+2+x)
.
(0.5) c) en déduire le signe de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f"(x))
.
d) tracer la courbe C .
III) on considère la suite
définie par :
)
et
.
1) mq x=ln2 est l'unique solution de
=x)
.
(0.25) 2) a) mq
:
| \leq \frac{1}{2})
.
(0.5) b) mq
.
(0.5) c) en déduire que
)
est convergente et déterminer sa limite .
IV) soit la fct F définie sur R par :
 = \int_x^{2x} \frac{t}{e^t-1} dt)
,
=0)
1) a) mq
:
 \leq \frac{x^2}{e^x-1})
.
(0.5) b)mq F est continue en 0 . (0.25)
c) mq F est dérivable en 0 et que F'(0)=1 .
(0.5)2) a) mq F est dérivable sur R* et que \forall x \in R* :
= \frac{3-e^x}{e^x+1} f(x))
.
(0.5) b) étudier les variations de F .
(0.25)-------------------------------------------------------------------------
mais ouf enfin .....
le 1er exo et l'étude de fonction étaient donnés (gagné à 100% j'espère :we: )..
l'exo sur les complexes , il y a un peu de calcul pour la partie II , j'ai pas envie de refaire le calcul j'espère que ce que j'avais fait était bon .
pour l'exo de l'arith j'ai pas fais la 2ème partie :--: (mais j'ai écris puisque f est injective et surjective d'aprés ce qui précéde alors elle est bijective ça fait 0.25pt :ptdr: )
j'ai cru que mon raisonnement sur l'injectivité était bon mais je viens de m'appercevoir que j'ai commis une boulette .
par sue » 09 Juin 2007, 23:49pour un entier k convenable, c'est juste aussi.
