Suites

[Jkookarmy]

Voilà le problème qui m’est posé, et je bloque vraiment dessus.

On définit deux suites u(n) et v(n) par u(0)=1, v(0)=2 et pour tout n>0 :

u(n+1)= (2u(n)+v(n))/3
v(n+1)= (u(n)+2v(n))/3

1- Déterminer, à la main les 3 premiers termes de ces deux suites. (Fait)
2- calculer, pour tout entier n, u(n) + v(n)
C’est ici que je bloque je ne parviens pas à trouver la formule explicite de ces deux formules de récurrence.
3- écrire un programme python, qui « demande » n et calcule le terme de rang n
À l’aide de ce programme, déterminer le 10eme terme de chacune de ces deux suites.

Voilà, pour la question 1 j’ai trouvé ;
u(1)= 4/3
u(2)= 13/9
u(3)= 40/27

Et

v(1)= 5/3
v(2)= 14/9
v(3)= 41/27

Je crois que la formule explicite nécessite au dénominateur 3puissance n mais je ne parviens pas à trouver les dénominateurs.

Merci de votre aide.

[Sa Majesté]

2- calculer, pour tout entier n, u(n) + v(n)
C’est ici que je bloque je ne parviens pas à trouver la formule explicite de ces deux formules de récurrence.

Déjà tu peux avoir une idée en calculant u(1)+v(1), u(2)+v(2), u(3)+v(3) grâce à la question 1.
Ensuite il suffit de calculer u(n+1)+v(n+1) en remplaçant u(n+1) et v(n+1) par leur expression.

[capitaine nuggets]

Salut !

Remarque que dans les expressions de et , les coefficients en et sont alternés :




où et . Donc en sommant membre à membre ces deux égalités, on peut exprimer sous la forme . Qu'en déduis-tu concernant la suite de terme général ? Je te laisse poursuivre.