Suites numériques

[sabine59]

Bonjour à tous!

Voilà ça fait un moment que je galère sur un dm de maths sur les suites numériques j'ai réussi à en faire un peu plus de la moitié mais sur le reste je bloque totalement. Je l'avais pendant les vacances mais nos professeurs très sympatiques nous ont noyé sous les dm et je n'ai pas pu y consacrer le temps qu'il mérite. :briques: Du coup je me retrouve à devoir le terminer pour demain et je panique... :cry:
Y a t il une âme charitable qui accepterai de me donner un coup de pouce (je tiens à préciser que je ne demande pas les réponses mais surtout des explications qui me mettraient sur la voie). :happy2:

Exercice 1 :

On considère la suite (Un) définie sur N par U0=1, U1=3 et, pour tout entier naturel n, U(n+2) = (1/2)*a²*U(n+1) + (a-3)*Un où a désigne un réel donné.
La suite (Vn) est définie sur N par Vn = U(n+1) - Un.

1) On pose a=2
a) Calculer les cinq premiers termes de la suite (Un) -> c'est la suite des nombres impaires.
b) Démontrer que la suite (Vn) est constante -> ça, ça va
c) En déduire que (Un) est une suite arithmétique. -> elle est arithmétique de raison 2
d) Exprimer Un et Sn=U0 + U1 + U2+...+Un en fonction de n. ->j'ai mis Un = U(n-1) + 2 et Sn = (n+1)*(Un /2)
e) En déduire la somme des enters naturels impairs inférieurs à 100. -> je sais que ça fait 2500 mais je n'arrive pas à le retrouver avec la formule trouvée précédemment...

2) On pose a=-4
a) Calculer les cinq premiers termes de la suite (Un). -> c'est fait
b) Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique. ->elle est géométrique de raison 7
c) Exprimer Vn et S'n=V0 + V1 + V2 +...+Vn en fonction de n. -> j'ai Vn = U(n-1)*b et S'n = (1-7 puissance n)/-3
d) démontrer que pour tout entier naturel n, S'n = U(n+1) - 1.
e) En déduire l'expression de Un en fonction de n.


Exercice 2 :

1) Soit f la fonction définie sur [0; +l'infini[ par f(x) = (6x)/(x+2)
a) Calculer f '(x) et étudier son signe. -> j'ai f '(x)=12/(x+2)² et son signe est toujours positif.
b) Dresser le tableau de variation de f. ->f toujours croissante
c) Tracer la courbe représentative (C) de f dans un repère orthonormal (O ;i, j) (unité graphique 2cm) -> c'est fait
d) Démontrer que si x appartient à ]0 ; 4[ alors f(x) appartient à ]0 ; 4[
e) Résoudre l'inéquation f(x)>x. -> j'ai trouvé 4>x

2) On pose U0=2 et U(n+1)= (6Un)/ (Un + 2) pour tout entier naturel n
a) A l'aide de la courbe (C) et de la droite delta d'équetion y=x, représenter les termes U0, U1, U2, U" sur l'axe des abscisses. -> aucun problème pour ça
b) Démontrer que, si l'un des termes de la suite (Un) appartient à l'intervalle ]0 ; 4[, alors son suivant appartient à ]0 ; 4[
c) Déterminer le sens de variation de la suite (Un)

3) On pose Vn = Un/ (Un - 4) pour tout entier n.
a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique.
b) En déduire l'expression de Vn puis de Un en fonction de n.


voilà. Pour résumer, tout ce que j'ai indiqué après une flèche, c'est ce que j'ai trouvé. En fait il me manque les questions : 1)e), 2)d)e) pour l'exo 1 et pour l'exo 2 les questions 1)d), 2)b)c), 3a) et b)

Merci...

[uztop]

Salut,
pour la première partie:
1) a)b)c) c'est bon
d) Un = U(n-1) + 2 est juste mais il faut exprimer Un en fonction de n
Sn = ... que vaut la somme des termes d'une suite arithmétique ?
e) le résultat que tu donnes est juste mais comme tu dis, il faut le démontrer (tu auras la réponse quand tu auras correctement répondu à la question d.

Bon, je vais regarder la suite maintenant

[uztop]

Pour la question 2,
Vn est une suite géométrique. Tu sais que par définition
Vn = V0*raison^n
Il faut donc calculer V0; la raison vaut 7 (tu l'as trouvée dans la question d'avant)
Pour S'n c'est bon
Pour la d, S'n = V0+V1+...Vn
Or Vn=U(n+1)-Un
Si on remplace dans S'n
S'n = U1-U0+U2-U1+...+U(n+1)-Un
Qu'est ce que tu constates dans cette somme ?

[sabine59]

Oui, je viens de me rendre compte que je m'étais trompée sur la 1) d). J'ai trouvé Sn = n* (Un + 1)/2
donc en appliquant,
n=50 et Un=99
S=50*(99+1)/2 =2500

[uztop]

En fait, on te demande d'abord d'exprimer Un en fonction de n.
C'est une suite arithmétique de raison 2, donc le résultat est assez simple à trouver.
Ensuite, il suffit de remplacer Un par sa valeur dans l'expression que tu as donné pour Sn et tu auras un résultat qui ne dépend que de n

[sabine59]

Si on remplace dans S'n
S'n = U1-U0+U2-U1+...+U(n+1)-Un
Qu'est ce que tu constates dans cette somme ?[/quote]

On constate que tout se simplifie sauf U(n+1) et -U0
donc on peut conclure que S'n = U(n+1) - U0 = U(n+1) -1

[sabine59]

En fait, on te demande d'abord d'exprimer Un en fonction de n.
C'est une suite arithmétique de raison 2, donc le résultat est assez simple à trouver.

C'est la réponse à la question 1)d) : Un =U(n-1) + 2


Ensuite, il suffit de remplacer Un par sa valeur dans l'expression que tu as donné pour Sn et tu auras un résultat qui ne dépend que de n

Sn = n* (Un+1)/2......... donc Un= 1/(2n)
ainsi Un = 1/(2n) +2

[uztop]

Un est une suite aithmetique de raison 2, son terme general vaut don;
Un = U0+2n
=1+2n

Sn est la somme des termes d'une suite arithmetique

[sabine59]

Merci beaucoup de ton aide!! :we:
J'ai vraiment fait des fautes idiotes mais j'ai bien compris ce chapitre maintenant.(grâce à toi) :happy2:
Merci encore!