Suites adjacentes

par **Anonyme** » 13 Fév 2006, 22:38

bonjour!
Vous pouvez m'aider pour la dernière question SVP?

On pose u(n)=1-1/2+1/3-...+[(-1)^n-1]/n pour tout n entier naturel non nul.
1-On pose v(n)=u(2n). Montrer que cette suite est croissante
2-On pose w(n)=u(2n+1). Montrer que cette suite est decroissante.
3-Montrer que (u(n)) et (v(n)) sont adjacentes.
4-On appelle l la limite commune de ces deux suites. Prouver que pour tout n,
u(2n)En deduire une valeur approchée de l à 10^-6 près (calculatrice)
5-Montrer que la suite (u(n)) converge vers l

@+

par **Anonyme** » 15 Fév 2006, 12:00

personne? :(

par **El_Gato** » 15 Fév 2006, 14:25

Pour la question 3, je pense que tu veux parler de

et non

.

Une façon de montrer que

converge consiste à utiliser le critère de Cauchy. Est-ce que tu l'as vu en cours ?

Si oui, voici comment faire:

Le terme

s'écrit:

avec

et

.

On remarque que les sommes

sont majorées par une constante V indépendante de n.

En conséquence

s'écrit:

.

Ensuite, on procède à une sorte d'"intégration par parties" discrète:

.

On regroupe et on récrit cette somme sous la forme:

.

Ainsi:

expression qui tend vers 0 quand p et q augmentent indéfiniment.

Ainsi la suite

est de Cauchy, et elle converge donc, forcément vers l d'après les questions précédentes.

par **Mikou** » 15 Fév 2006, 14:34

en term S on ne parle pas de ce theoreme. lastuce est de montrer des tes deux suites on la meme limite et qu'il existe N0 ds |N tq pour tout n>N0 Vn,Wn appartiennent a ]L-a;L+a[ <=> Un appartient a ]L-a;L+a[ donc Un converge vers L

par **El_Gato** » 15 Fév 2006, 15:05

Mikou a écrit:en term S on ne parle pas de ce theoreme. lastuce est de montrer des tes deux suites on la meme limite et qu'il existe N0 ds |N tq pour tout n>N0 Vn,Wn appartiennent a ]L-a;L+a[ Un appartient a ]L-a;L+a[ donc Un converge vers L

Que

et

soient dans

c'est clair puisqu'on a démontré que

et

tendaient vers

. Mais comment en déduis-tu que

est dans le même intervalle ?

On n'a pas

.

par **Mikou** » 15 Fév 2006, 15:56

nan mais Vn et Wn sont deux suites qui constituent Un

par **El_Gato** » 15 Fév 2006, 15:59

Mikou a écrit:nan mais Vn et Wn sont deux suites qui constituent Un

Ca ne suffit pas.

et

peuvent très bien converger sans que

converge. Exemple:

.

par **El_Gato** » 15 Fév 2006, 16:03

Ok c'est moi qui fatigue. u(2n) et u(2n+1) cv vers l entraine un cv vers l.

J'arrete de faire du sport.

par **Mikou** » 15 Fév 2006, 16:04

lol j'ai cru pendant un instant que vous vous etiez passé le mot avec bertrand pour me contredire :ptdr:

par **thomasg** » 15 Fév 2006, 16:06

Bonjour,

le dernier contre exemple ne me semble pas valable,

en effet les deux sous-suites extraites de Un n'ont pas la même limite.

Au revoir

par **El_Gato** » 15 Fév 2006, 16:10

Cela dit il faut quand même fournir une petite preuve:

et

convergent toutes deux vers

entraine

converge vers

.

On laisse çà à l'incontrolable.

par **El_Gato** » 15 Fév 2006, 17:30

Mikou a écrit:lol j'ai cru pendant un instant que vous vous etiez passé le mot avec bertrand pour me contredire :ptdr:

Attention Mikou la parano te guêtes.

par **Anonyme** » 15 Fév 2006, 19:46

merci beaucoup à tout les deux. :)

En fait pour la 4 vous pourriez m'aider aussi, parce que j'ai montré ca en disant que c'est du cours mais c'est pas une preuve non?
"Cela dit il faut quand même fournir une petite preuve: u_{2n} et u_{2n+1} convergent toutes deux vers l entraine u_{n} converge vers l."
Je ne vois pas comment faire :(

par **Anonyme** » 16 Fév 2006, 10:42

C'EST ENCORE MOI :)

Pour la question 5, il y a marqué utiliser l'exercice suivant (mais je ne vois pas le rapport) :
Soit f définie par f(x)=(x^4-4)/(x²+3x-10) pour x \{-5;2}.
1/ On suppose que x>2.
Etudier la limite de f en +infini, en 2.
2/On suppose que -5Etudier la limite de f en -5, en 2.
3/ On suppose que -5>x.
Etudier la limite de f en -infini, en -5
.

par **thomasg** » 16 Fév 2006, 10:56

Citation:

En fait pour la 4 vous pourriez m'aider aussi, parce que j'ai montré ca en disant que c'est du cours mais c'est pas une preuve non?
"Cela dit il faut quand même fournir une petite preuve: u_{2n} et u_{2n+1} convergent toutes deux vers l entraine u_{n} converge vers l."
Je ne vois pas comment faire :(
Hier 17h30

Voilà, il me semble une réponse à ta demande:

soit a positif,
il faut montrer qu'il existe N tel que si n>N alors |un-l|
u2n converge vers l donc il existe N1 tel que n>N1 entraîne |u2n-l|u(2n+1) converge vers l donc il existe N2 tel que |u(2n+1)-l|Posons par exemple N=sup(2N1;2N2+1)
On a bien alors: si n>N alors |un-l|
A bientôt,
en espérant t'avoir aidé sans commettre trop d'ereurs.

par **Anonyme** » 16 Fév 2006, 11:14

merci thomasg :)
mais je ne comprend pas quand tu dis " n>N alors |un-l|

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