Terminale S. application algorithmique : suites adjacentes

[esterock]

Bonjour. Je suis actuellement dans l'incapacité de finir un devoir maison donc le sujet est le suivant:
On considère la fonction g définie sur R par:
g(x)=(x+2)*e(x-1) -1
1. Montrer que g(x)=0 admet une unique solution sur R.
(Question résolue à l'aide du TVI en étudiant les variations de g en passant par la dérivée)

2. On note [FONT=Times New Roman];) [/FONT] cette solution. On cherche une valeur approchée de [FONT=Times New Roman];) [/FONT] à 10-3 près. Une première étude nous permet d'affirmer que [FONT=Times New Roman];) [/FONT] appartient à [-10,10].

Posons a0=-10 et b0=10.

On définit les suites (an) et (bn) par:

Si g(an)*g((an+bn)/2)<0, alors an+1=an et bn+1=(an+bn)/2
Sinon, an+1=(an+bn)/2 et bn+1=bn.

a. Montrer que les suites (an) et (bn) sont adjacentes. (aide: on pourra montrer que bn+1-an+1=(bn-an)/2 puis par récurrence que bn-an=(b0-a0)/2^n.

J'ai réussi à montrer les deux égalités de l'aide mais je n'arrive pas à montrer que les suites sont adjacentes. La limite de bn-an est égale à 0 mais je n'arrives pas à montrer que (bn) est croissante et (an) décroissante.

b. Que peut-on en déduire? Quel lien peut-on faire avec la solution de l'équation g(x)=0?

Je pense que la limite des deux suites est la solution de g(x)=0, ce qui permettrait d'en faire un encadrement.

c. Ecrire un algorithme utilisant les suites (an) et (bn) permettant de trouver une valeur approchée de[FONT=Times New Roman];) [/FONT] à 10-3 près.

Pour cette partie, je n'ai vraiment aucune idée et je n'arrive pas à comprendre comment partir.

Peut-être que j'aurais quelques idées en réussissant à répondre à la question précédente. J'espère que vous pourrez m'aider et j'ajouterais mes futures réponses si je parviens à les trouver.

Je vous remercie d'avance.

[chan79]

Bonjour. Je suis actuellement dans l'incapacité de finir un devoir maison donc le sujet est le suivant:
On considère la fonction g définie sur R par:
g(x)=(x+2)*e(x-1) -1
1. Montrer que g(x)=0 admet une unique solution sur R.
(Question résolue à l'aide du TVI en étudiant les variations de g en passant par la dérivée)

2. On note [FONT=Times New Roman];) [/FONT] cette solution. On cherche une valeur approchée de [FONT=Times New Roman];) [/FONT] à 10-3 près. Une première étude nous permet d'affirmer que [FONT=Times New Roman];) [/FONT] appartient à [-10,10].

Posons a0=-10 et b0=10.

On définit les suites (an) et (bn) par:

Si g(an)*g((an+bn)/2)<0, alors an+1=an et bn+1=(an+bn)/2
Sinon, an+1=(an+bn)/2 et bn+1=bn.

a. Montrer que les suites (an) et (bn) sont adjacentes. (aide: on pourra montrer que bn+1-an+1=(bn-an)/2 puis par récurrence que bn-an=(b0-a0)/2^n.

J'ai réussi à montrer les deux égalités de l'aide mais je n'arrive pas à montrer que les suites sont adjacentes. La limite de bn-an est égale à 0 mais je n'arrives pas à montrer que (bn) est croissante et (an) décroissante.

b. Que peut-on en déduire? Quel lien peut-on faire avec la solution de l'équation g(x)=0?

Je pense que la limite des deux suites est la solution de g(x)=0, ce qui permettrait d'en faire un encadrement.

c. Ecrire un algorithme utilisant les suites (an) et (bn) permettant de trouver une valeur approchée de[FONT=Times New Roman];) [/FONT] à 10-3 près.

Pour cette partie, je n'ai vraiment aucune idée et je n'arrive pas à comprendre comment partir.

Peut-être que j'aurais quelques idées en réussissant à répondre à la question précédente. J'espère que vous pourrez m'aider et j'ajouterais mes futures réponses si je parviens à les trouver.

Je vous remercie d'avance.

juste une petite remarque
si a(n) < b(n) et a(n+1)=(a(n)+b(n))/2 alors a(n) < a(n+1) < b(n)
la demie somme de deux nombres est comprise entre ces deux nombres
a(n) est croissante

[chan79]

ou alors
si a(n) <= b(n)
et a(n) <= a(n)
en faisant les demi-sommes
a(n)<= a(n+1)

[geegee]

[quote="esterock"]Bonjour. Je suis actuellement dans l'incapacité de finir un devoir maison donc le sujet est le suivant:
On considère la fonction g définie sur R par:
g(x)=(x+2)*e(x-1) -1
1. Montrer que g(x)=0 admet une unique solution sur R.
(Question résolue à l'aide du TVI en étudiant les variations de g en passant par la dérivée)

2. On note [FONT=Times New Roman];) [/FONT] cette solution. On cherche une valeur approchée de [FONT=Times New Roman];) [/FONT] à 10-3 près. Une première étude nous permet d'affirmer que [FONT=Times New Roman];) [/FONT] appartient à [-10,10].

Posons a0=-10 et b0=10.

On définit les suites (an) et (bn) par:

Si g(an)*g((an+bn)/2)+infini)(an- bn)=0

[esterock]

Bonjour,

g(x)=0 lim(n->+infini)(an- bn)=0

Je vous remercie d'avoir répondu, mais cela ne m'aide pas vraiment puisque cette limite ne suffit pas pour montrer que les deux suites sont adjacentes.
Il est nécessaire aussi de montrer que (an) est croissante et que (bn) décroissante et c'est pour cela que j'ai demandé de l'aide sur ce forum.