Spé Maths Terminale S : Nombres premiers

[Tetdoss]

Salut à tous je suis en train de faire mon DM de maths qui est pour Mercredi (désolé de m'y prendre un peu tard mais bon j'ai profité des vacances). Mon DM de maths est une suite d'exos et je coince sur une question sur les nombres de Mersenne :

1)b) En utilisant une factorisation de (a^n) -1, démontrer que (si a^n) -1 est premier alors a = 2.
J'ai commencé juste par écrire ça :

(a^n) - 1^n = (a-1)(a^(n-1) + a^(n-2) + ... + a^0)

Si vous avez besoin de la question d'avant, il fallait juste dire si (2^7) -1 , si (3^7) - 1 et si (2^4) - 1 étaient premiers.

Merci d'avance :)

[el niala]

tu es sur la bonne voie, que penses-tu du facteur (a-1) si a>2 ?

[sylvainp]

Salut

(a^n) - 1^n = (a-1)(a^(n-1) + a^(n-2) + ... + a^0)

a^n-1 est donc divisible par a-1.
un nombre premier admet comme diviseurs 1 et lui-même
...

[Tetdoss]

Merci beaucoup à vous !

donc si a^n - 1 est premier a - 1 = 1 et donc a = 2

ou a - 1 = a^n - 1 et donc a^(n-1) = 1 ? Je trouve ça bizarre ce "ou" car je dois trouver que a est TOUJOURS égal à 2 si a^n - 1 est premier :/

[Tetdoss]

En fait c'est bon résolu, l'autre cas n'est pas possible ^^

[sad13]

c'est à dire? En tout cas ton raisonnement est juste

[Tetdoss]

a^n -1 = (a-1)(...)
Si a^n - 1 est premier :


a - 1 = 1
OU
a - 1 = a^n - 1

or a - 1 = a^n - 1
a = a^n n'est pas possible donc a = 2

Voilà ^^