3 solutions ?

[theluckyluke]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour une question assez difficile (pour ma part en tous cas) :

On a une fonction . (la dérivée de la fonction f(x) )

On a préalablement étudié le signe de f" pour pouvoir en déduire les variations de f'.

Là où je bloque est quand on demande de démontrer que l'équation admet trois solutions sur R. (Elles seront notées )



Alors j'avais pensé utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sur trois intervalles : (d'après les valeurs du tableau de signe de f" et de variations de f'.), mais je ne sais pas trop si cela marche.
Il faudrait alors dire que la fonction est continue (ça c'est ok, car somme de polynômes), mais ensuite pour l'encadrement on aurait quelque chose du type :




Voilà, est-ce que vous pourriez me donner une piste?
Merci d'avance.

[Zebulon]

Bonsoir,
où est le problème? Il faut sûrement faire comme vous pensez : montrer que sur chacun de ces trois intervalles, f' admet une unique solution.
On vous demande un encadrement de , , et ?

[theluckyluke]

Bonsoir,
où est le problème? Il faut sûrement faire comme vous pensez : montrer que sur chacun de ces trois intervalles, f' admet une unique solution.
On vous demande un encadrement de , , et ?

oui un encadrement à

Don l'idée est bonne?

[Zebulon]

L'idée est très bonne!
Pour déterminer un encadrement, utilisez votre calculatrice pour trouver les valeurs qui encadrent , et montrez par le calcul que l'image de l'une est positive tandis que l'image de l'autre est négative.

[theluckyluke]

L'idée est très bonne!
Pour déterminer un encadrement, utilisez votre calculatrice pour trouver les valeurs qui encadrent , et montrez par le calcul que l'image de l'une est positive tandis que l'image de l'autre est négative.

oui je vais essayer comme ça. pour les intervalles, on doit exclure les -1 et 1, ou cela n'a aucune importance?

[Zebulon]

Le mieux, c'est sûrement d'utiliser les intervalles , et .
L'intérêt de les prendre comme ça est :

1. Ces trois intervalles recouvrent l'ensemble de définition, donc il n'y a pas d'autre solution que celles qu'on trouve dans ces intervalles.

2. Comme ils sont disjoints, (ils ont une intersection vide ou ils ne se "coupent" pas, comme vous préférez), ça garantit qu'il y a exactement trois solutions et pas moins. En effet, si on prend par exemple et pour les deux premiers, alors on montre qu'il y a une unique solution dans , qu'il y a une unique solution dans , mais ça dit seulement qu'il y a une ou deux solutions dans , car la solution sur chaque intervalle pourrait être -1. Il faudrait alors vérifier que ce n'est pas -1, ce qui fait du travail en plus.

Remarquez que j'aurais très bien pu choisir les intervalles , et . Ce que j'ai dit marche pour tous les types de ces trois intervalles du moment qu'ils ne se rencontrent pas et que leur réunion est .

Il faut tout de même faire attention à ce que f' soit bijective sur chacun de ces intervalles pour garantir l'unicité des solutions.
Voilà! :happy2:

[theluckyluke]

Le mieux, c'est sûrement d'utiliser les intervalles , et .
L'intérêt de les prendre comme ça est :

1. Ces trois intervalles recouvrent l'ensemble de définition, donc il n'y a pas d'autre solution que celles qu'on trouve dans ces intervalles.

2. Comme ils sont disjoints, (ils ont une intersection vide ou ils ne se "coupent" pas, comme vous préférez), ça garantit qu'il y a exactement trois solutions et pas moins. En effet, si on prend par exemple et pour les deux premiers, alors on montre qu'il y a une unique solution dans , qu'il y a une unique solution dans , mais ça dit seulement qu'il y a une ou deux solutions dans , car la solution sur chaque intervalle pourrait être -1. Il faudrait alors vérifier que ce n'est pas -1, ce qui fait du travail en plus.

Voilà! :happy2:

ok merci Zébulon!
J'essayerai demain

[theluckyluke]

bonjour,

si je rédige comme cela, est-ce que c'est bon?

On va essayer de démontrer que la fonction admet une unique solution sur chacun des intervalles

Etude sur l'intervalle :
On a . On veut démonter que l'équation admet une unique solution sur .
On a :

• est continue sur car est une somme de polynômes.
• sur donc est strictement croissante et est strictement monotone sur .

De plus et
Donc on a bien


Conclusion : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .

Soit cette solution, à l'aide de la calculatrice, on trouve : -1,8 à près.

On procède de même sur les autres intervalles.



Le seul petit détail est que dans la définition du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on considère un intervalle du type [a;b] (fermé), ici on a deux intervalles ouverts et un intervalle fermé, est-ce que c'est quand même bon?

[Zebulon]

On va essayer de démontrer que la fonction admet une unique solution sur chacun des intervalles

Etude sur l'intervalle :
On a . On veut démonter que l'équation admet une unique solution sur .
On a :

• est continue sur car est un polynôme.
• sur donc est strictement croissante et est strictement monotone sur .

Attention ! implique que f' est croissante (on dit qu'une fonction f est croissante, et pas f(x), qui est une valeur et pas une fonction). Il faut donc montrer que sur .

De plus et
Donc on a bien


Conclusion : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .

Soit cette solution, à l'aide de la calculatrice, on trouve : -1,8 à près.


On peut utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédaires quel que soit le type d'intervalle (ouvert, fermé, ou ni l'un ni l'autre).

[theluckyluke]

On va essayer de démontrer que la fonction admet une unique solution sur chacun des intervalles

Etude sur l'intervalle :
On a . On veut démonter que l'équation admet une unique solution sur .
On a :

• est continue sur car est un polynôme.
• sur donc est strictement croissante et est strictement monotone sur .

Attention ! implique que f' est croissante (on dit qu'une fonction f est croissante, et pas f(x), qui est une valeur et pas une fonction). Il faut donc montrer que sur .

De plus et
Donc on a bien


Conclusion : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .

Soit cette solution, à l'aide de la calculatrice, on trouve : -1,8 à près.


On peut utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédaires quel que soit le type d'intervalle (ouvert, fermé, ou ni l'un ni l'autre).

ok, très bien merci beaucoup.
Effectivement c'est f' et pas f'(x) et il faut montrer que f"(x) supérieure strictemetn à 0 pour dire que c'est strictement croissant et donc aussi strictement monotone.

[theluckyluke]

voilà... j'ai encore une petite question...

On me demande ensuite de trouver grâce à la question précédente les variations de la fonction f, avec dont la dérivée était

Pas de problème : suivant le signe de la dérivée

• f est décroisante sur
• f est croissante sur
• f est décroisante sur
• f est croissante sur

Est-ce que les intervalles ouverts sont bons? ou il faut les fermer?


On me demande ensuite d'en déduire le nombre de solutions de l'équation
Je procede encore avec le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur les 4 intervalles?

[Zebulon]

Une méthode consiste à introduire la fonction g définie sur , qui à x associe f(x)-1, d'étudier g, etc...
Mais si on dit en déduire, c'est qu'il doit y avoir un lien avec les variations de f. Peut-être que grâce aux encadrement de , , , on peut trouver un encadrement de , , , et montrer que sur certains intervalles, f(x)1, auquel cas l'équation f(x)-1=0 n'a pas de solution sur ces intervalles.

[Zebulon]

• f est décroisante sur
• f est croissante sur
• f est décroisante sur
• f est croissante sur

Est-ce que les intervalles ouverts sont bons? ou il faut les fermer?

Ils peuvent rester ouverts si on n'a besoin que de croissance/décroissance, et pas de stricte monotonie.

[theluckyluke]

Une méthode consiste à introduire la fonction g définie sur , qui à x associe f(x)-1, d'étudier g, etc...
Mais si on dit en déduire, c'est qu'il doit y avoir un lien avec les variations de f. Peut-être que grâce aux encadrement de , , , on peut trouver un encadrement de , , , et montrer que sur certains intervalles, f(x)1, auquel cas l'équation f(x)-1=0 n'a pas de solution sur ces intervalles.

en fait elle admet 4 solutions donc je devrai en trouver une sur chaque intervalle?

[Zebulon]

Pas sûr : elle pourrait très bien en admettre plusieurs sur un intervalle, et aucun sur un autre intervalle. Là, je dois travailler. Si vous montrez que l'équation f(x)-1=0 admet une et une seule solution sur chaque intervalle, c'est gagné! Mais ce n'est pas nécessaire.

[theluckyluke]

D'accord. merci beaucoup Zebulon

Bon travail!