Sens de variation d'une parabole

[yann06]

Bonsoir

j'ai fait une représentation graphique de f

j'ai placée en couleur verte
x et x' sur l'axe des abscisses dans la partie ou f(x) est décroissante

l'image correspondante de x ' et f(x')
et l'image correspondante de x et f(x)
on a f(x') et f(x) sur l'axe des ordonnées

si je place x ' et x sur l'axe des abscisses dans l'intervalle ou f(x) est croissante
je ne l'ai pas fait sur le dessin mais je vais avoir x ' et x sur l'axe des abscisses
et l'image correspondante de x'
puis l'image correspondante de x
f(x') et f(x) seront encore dans le meme ordre

je n'arrive pas à trouver la subtilité de cette démonstration ?

pouvez vous m'aider ? s'il vous plait

[titine]

Je ne comprends pas ta question.
C'est la définition d'une fonction croissante.
Une fonction est croissante si elle conserve l'ordre , c'est à dire si les images de x et x' sont dans le même ordre que x et x'.
http://www.ac-grenoble.fr/maths/LAB/analyse/pages/croisbase.htm

[Pseuda]

Pour compléter. Tu dois savoir qu'une parabole possède un axe de symétrie, qui passe par le sommet de la parabole.

A gauche de l'axe de symétrie, que se passe-t-il ? A droite de l'axe de symétrie, que se passe-t-il ?

--> pour x < x', il faut comparer f(x) et f(x'), c'est-à-dire dire quel est le plus grand (ou le plus petit), c'est-à-dire mettre un signe < ou > entre f(x) et f(x').

Pour la démonstration : soit -b/2a l'abscisse du minimum (tu as dû le voir), avec a>0 :
Si x<x'<-b/2a, alors (x+b/2a)<(x'+b/2a)<0, alors (x+b/2a)²>(x'+b/2a)², pourquoi ?
donc f(x)>f(x') car le polynôme sous forme canonique s'écrit : a((x+b/2a)²+p) ; donc f est décroissante à gauche du minimum.

Idem si x>x'>-b/2a ..., on obtient f(x)>f(x') ; donc f est croissante à droite du minimum.

Effectivement, cette démonstration n'est pas évidente, et on se contente de dire "ça se voit sur le schéma".

[zygomatique]

salut

je n'arrive pas à trouver la subtilité de cette démonstration ?

quelle démonstration ?

quelle est la question exacte ?

[yann06]

Bonsoir TITINE

merci pour ton aide

, le lien que tu m'as donné me rend sur un site de math , donc ça c'est OK
par contre , je ne sais pas faire varier les curseurs et il n'y a pas de représentations graphiques

alors , c'est peut être un problème avec mon ordinateur

comme je suis sur Macintosh ??
le lien que tu m'as donnée a l'air très intéressant et j'aimerais pouvoir l'utiliser
en effet , cette démonstration de la fonction croissante m'intéresse beaucoup
est ce que tu peux me donner un autre lien qui fonctionne un peu mieux que celui que tu m'as envoyé
je suis impatient de comprendre cette démonstration

merci beaucoup

[yann06]

Bonsoir Pseuda

merci de m'avoir répondu
et aussi merci de m'aidez pour cette démonstration qui n'est pas façile à comprendre

pour répondre aux questions :
1) à gauche de l'axe de symétrie , que se passe t-il ? a droite de l'axe de symétrie , que se passe t'il ?
alors voilà ce que je réponds
-si la parabole est orientée vers le haut (comme sur le dessin )
-> la fonction est décroissante sur l'intervalle
-> la fonction est croissante sur l'intervalle

- si maintenant , la parabole est orientée vers le bas , donc a <0
-> la fonction est croissante sur l'intervalle
-> la fonction est décroissante sur l'intervalle
(ça , c'est façile , il n'y a qu'à commenter la représentation graphique)

2) pour x < x ', il faut comparer f(x) et f(x') et mettre un signe < ou > entre f(x) et f(x')
je reprends la représentation graphique ou la parabole est orientée vers le haut
x' = -1
et x = -4
je prends ces 2 valeurs au hasard
-1 est bien supérieur à -4
maintenant si je prends les images de x' et x , c'est à dire f(x') et f(x)
f(x) va être forcément supérieure à f(x') -------> sur le dessin , on voit bien que f(x') est en dessous de f(x)
donc f(x) > f(x')
on a bien : les images sont rangés dans l'ordre inverse des antécédents

second cas :
je vais prendre x' =2 et x = 1
on a bien x < x'
je calcule le images de x' et de x , c'est à dire f(x') et f(x)
je vais avoir f(x) sur l'axe des ordonnées et au dessus f(x')
donc f(x') > f(x)
x < x' et f(x') > f(x) donc les images sont dans le meme ordre que les antécédents donc la fonction est croissante

3) ensuite

si
jusque là , je suis d'accord
si je prends x ' = - 1 et x = -4
alors mais alors

là , je ne comprends plus rien du tout , mon petit cerveau n'arrive pas à suivre !!
si vous pouviez m'expliquer ?? évidemment , je serais content de pouvoir comprendre

[Pseuda]

Bonjour,

On montre que : ax^2+bx+c = a (x^2 + (b/a) x + (c/a) ) (en mettant a en facteur)
= a ( (x+b/2a)^2 - (b/2a)^2 + (c/a) ) (par une astucieuse manipulation).
C'est-à-dire qu'on est passé de la forme développée du polynôme ax^2+bx+c à sa forme canonique. Pour t'en convaincre, refais le calcul dans l'autre sens, de la forme canonique à la forme développée.

C'est hors programme 2nde (au programme de la 1ère), mais cela montre pourquoi, quand a>0, on a un minimum au point d'abscisse -b/2a, et un maximum quand a<0.

Par exemple, 3((x-1)^2 + 2) présente un minimum en 1. Qui est ? (pour t'aider, un carré est toujours positif).

si alors alors

là , je ne comprends plus rien du tout , mon petit cerveau n'arrive pas à suivre !!
si vous pouviez m'expliquer ?? évidemment , je serais content de pouvoir comprendre

Pour ça, il suffit d'appliquer les règles sur les inégalités :

on peut ajouter un même nombre aux 2 membres d'une inégalité sans changer le sens de l'inégalité,
et quand on multiplie les 2 membres d'une inégalité par un nombre négatif, cela change le sens de l'inégalité.
(ou tu peux utiliser le fait que la fonction x² est décroissante sur ]-inf, 0] et croissante sur [0,+inf[.

[yann06]

on reconnait le début du développement d'une identité remarquable




soit

on injecte dans

ce qui donne

soit

ensuite ,je factorise par (-1)
soit

je suis donc passé de la forme développée à la forme canonique

avec

si je développe



et se simplifient




il reste à simplifier le 4 ac du numérateur avec le 4 a ^2 du dénominateur

et je retrouve la forme développée

tout ça , c'est OK

cela montre pourquoi , quand a > 0 , on a un minimum au point d'abscisse

désolé , mais je ne vois pas la subtilité


présente un minimum en 1, qui est ?
alors je vais développer



non , c'est pas ça , il faut trouver une forme canonique

en fait , je ne vois pas
j'ai l'impression de ne pas comprendre , ce qui est le plus simple

[yann06]

Je viens de m'apercevoir que je n'ai pas dit bonjour

en fait , je suis tellement préoccupé par le sujet et j'ai oublié de vous dire merci aussi

voilà , je reviens au sujet

et bien , si x = 1

on a 5 , donc 5 est le minium

[Pseuda]

Bonsoir,

Tu as fait le plus dur ! Mettre le polynôme sous forme canonique.

cela montre pourquoi , quand a > 0 , on a un minimum au point d'abscisse

désolé , mais je ne vois pas la subtilité

présente un minimum en 1, qui est ?

Dans le polynôme , l'expression est toujours positive ou nulle (car un carré est toujours positif ou nul),
c'est-à-dire pour tout réel x ,
donc
donc : le minimum est 6.
Et le polynôme prend sa valeur minimum pour quelle valeur de x ?

Exerce-toi avec a<0 (on a un maximum), et avec l'expression générale.

[yann06]

Bonjour Pseuda



(x + x') > 0

(x + x') + b > b

a (x + x') + b > b * a

dans l'exemple avec est toujours positive ou nulle

mais ici , il faut que (x + x') soit positif donc il faut prendre x et x' supérieur à 1

[Lostounet]

désolé , mais je ne vois pas la subtilité


présente un minimum en 1, qui est ?
alors je vais développer



non , c'est pas ça , il faut trouver une forme canonique

Salut Yann,


On constate que a = 3 > 0 donc la parabole est tournée vers le haut. Il y a donc un minimum !
On se demande comment choisir x de sorte à avoir f(x) qui soit une quantité la plus petite possible.

On constate que le mieux qu'on puisse faire, vu qu'on a "quelque chose de positif + 6" c'est ajouter le nombre 0 à 6 (donc faire du 0+6), c'est-à-dire choisir x tel que la quantité 3(x-1)^2 soit nulle donc tel que 3(x-1)^2 = 0 => (x - 1)^2 = 0 =>

Mais j'imagine que tu as compris cela?

[zygomatique]

avec l'abscisse du sommet de la parabole = lieu de l'extremum et m = f(s) cet extremum

soit u < v deux réels ...




si s < u < v alors :

v - s > 0 et u - s > 0 donc v + u - 2s = v - s + u - s > 0
v - u > 0

donc f(v) - f(u) a le même signe que a

a > 0 => f est croissante sur [s, +oo[
a < 0 => f est décroissante sur [s, +oo[


si u < v < s alors :

v - s < 0 et u - s < 0 donc v + u - 2s = v - s + u - s < 0
v - u > 0

donc f(v) - f(u) est du signe opposé à celui de a

a > 0 => f est décroissante sur ]-oo, s]
a < 0 => f est croissante sur ]-oo, s]

on en déduit bien sur la nature de cet extremum dans chaque cas ...