Resolution de y'' +ay' +by =0

par **MacErmite** » 29 Jan 2010, 08:24

bonjour,

j'ai un cours sur les eq. différentielles sous les yeux et j'éprouve quelques difficultés ...

"Soit y une fonction définie sur R et Alpha un réel. On définit alors z par

, alors y est solution de l'éq. diff y" +ay'+by=0" :doh: :doh:

He bien lorsque que je calcule z" +az'+bz = 0 je trouve

ce qui n'est pas tout à fait l'expression que j'attendais (j'attendais plutot cette forme : y" + a y' + b y = 0

Je suis perdu dans cette énoncé, pouvez-vous m'aider ?

Merci.

par **Sylviel** » 29 Jan 2010, 09:07

tu devrais faire attention à ce que tu nous racontes ici : il manque la moitié des données pour comprendre... que vérifie tes données ? Que veux tu montrer ?

par **MacErmite** » 29 Jan 2010, 10:44

Le cours défini une fonction

et anonce que les rédiments du calcul diff permet d'avancer que y est solution de l'eq. diff y" +a.y'+b.y=0.

Ors si

et que j'exprime l'expression z"+a.z'+b.z=0 , j'obtiens :
[CENTER]

[/CENTER]
Si y est solution de l'eq. diff , pourquoi il y a un signe (-) devant (a) ?

par **Ben314** » 29 Jan 2010, 11:36

Salut,
moi non plus, je ne comprend pas trop ce que tu dit :
Si tu écrit z=ye^(-ax), cela correspond à un changement de variable, donc un "résultat possible" est que :
y vérifie l'équa.diff. ... si et seulement z vérifie l'équa.diff. ...

C'est bien ce que tu as fait mais tes calculs sont faux : quand tu dérive z, il ne faut pas oublier que y n'est pas une constante donc il faut utiliser (uv)'=...

Pour moi, le B.A.BA des équa diff linéaire à coeff constants c'est de dire que :
y=e^(lambda x) est solution de y"+ay'+by=0 si et seulement si lambda est solution de lambda²+a lambda +b =0.
Mais je ne vois pas le rapport avec ce que tu écrit...

par **Sylviel** » 29 Jan 2010, 11:40

ce n'est toujours pas clair... Tu sais que z est solution de z''+az'+bz = 0 et tu veux trouver l'équation que résout y ? Ou tu sais que y est solution de l'équation et tu veux trouver une équation sur z ?

Par ailleurs

par **MacErmite** » 29 Jan 2010, 12:05

Ben314 a écrit:Salut,
moi non plus, je ne comprend pas trop ce que tu dit :
Si tu écrit z=ye^(-ax), cela correspond à un changement de variable, donc un "résultat possible" est que :
y vérifie l'équa.diff. ... si et seulement z vérifie l'équa.diff. ...

C'est bien ce que tu as fait mais tes calculs sont faux : quand tu dérive z, il ne faut pas oublier que y n'est pas une constante donc il faut utiliser (uv)'=......

,

et

ce qui donne pour

est-ce juste ?

Ben314 a écrit:Pour moi, le B.A.BA des équa diff linéaire à coeff constants c'est de dire que :
y=e^(lambda x) est solution de y"+ay'+by=0 si et seulement si lambda est solution de lambda²+a lambda +b =0.
Mais je ne vois pas le rapport avec ce que tu écrit...

Cela introduit l'eq. caracteristique, avec l'étude de son discriminant...

par **Sylviel** » 29 Jan 2010, 16:27

tu as vraiment fais la somme des dérivées que tu nous as donné ? parce que je ne vois pas le rapport entre tes 3 premières lignes et la dernière (ou plutôt j'ai l'impression que tu as bien dérivé et ensuite redonné ton résultat précédent, qui est faux). Indice tu as au moins a^2 dans le coefficient devant y...

Par ailleurs tu n'as toujours pas répondu à la remarque initiale : quelle est l'hypothèse ? Quelle est la conclusion à laquelle tu veux aboutir ?

et enfin je pense que dans ton dernier message un z est devenu y.

par **MacErmite** » 29 Jan 2010, 18:16

J'ai enfin réussis à scanner la partie du cours qui m'est obscur.

Après avoir refait le calcul z" + a z' +b z=0 en prenant z = y exp[-a.x], je retombe sur le même résultat. Je ne comprends pas pourquoi cela est faux.

J'aimerais comprendre les étapes qui aboutissent à (E'), mais :briques:

Petite précision : Je n'ai pas de prof vers qui me retourner ...

par **Sylviel** » 30 Jan 2010, 09:06

En fait j'ai compris l'erreur, et je reconnais que j'aurais du le voir plus tôt : il s'agit de exp(-\alpha x)

Alors pour ton calcul déjà, en reprenant ce que tu nous a écrit plus haut :

Maintenant si tu rassembles les termes tu obtient bien l'équation donnée en z.
Ensuite tu choisit un alpha particulier pour simplifier l'équation et aboutir à E dont E' est une simple réécriture.

Au fait c'est bien ce que je te disais : tu prend y solution d'une équation et tu cherches un équation en z. En fait on procède par équivalence car exp() est positive.

Bon courage

par **MacErmite** » 30 Jan 2010, 13:00

Je ne comprends toujours pas ou est l'erreur. Pour

, sa dérivée première donne

, pour la dérivée seconde :

d'ou :

décidément, après avoir rassemblé tout les termes je retrouve la forme du début; c'est à rendre fou :ptdr:

Resolution de y'' +ay' +by =0

Resolution de y'' +ay' +by =0

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