Résolution de f(x)=h(x)

[kl4im]

Bonjour,
j'ai une question dans un DM qui me pose problème :
on me demande d'obtenir la résolution par le calcul de (E) : f(x) = h(x)
Sachant que f(x) = |2x²+3x-5| + x²-x-5
si x appartient à ]-inf.;-5/2[ u ]1;+inf.[ alors f(x)= 3x²+2x-10
si -5/2Et h(x) = 2- 7/x
Il est conseillé d'utilisé : si une fonction polynome P s'annule en a, alors P(x) est factorisable par (x-a).

J'ai commencé mais je suis coincée, pourriez-vous me donner quelques pistes pour continuer ?

si x appartient à ]-inf.;-5/2[ u ]1;+inf.[
f(x) = h(x)
3x²+2x-10 = 2 - 7/x
3x²+2x-10-2 + 7/x = 0
en multipliant par x
3x^3 + 2x² -12x + 7 =0

Et là je suis coincée, je ne sais pas résoudre d'équation.

si -5/2f(x) = h(x)
-x²-4x = 2 - 7/x
-x²-4x-2 + 7/x = 0
-x^3 - 4x² - 2x + 7 = 0

Là pareil.

Merci d'avance si vous pouviez me donner quelques pistes pour pouvoir continuer.

[Roman]

Bonjour,

kl4im, a mon avis, tu pars mal !

"Sachant que f(x) = |2x²+3x-5| + x²-x-5
si -5/2si x appartient ]-inf.;-5/2[ u ]1;+inf.[ alors f(x)= -x²-4x"

Je pense que c'est l'inverse...

Roman

[kl4im]

Oui en effet, c'est l'inverse...
Je modifie tout de suite

[Roman]

kl4im, essaye maintenant a tout hasard de calculer f(1) - h(1)...

Roman

[kl4im]

f(1) - h(1)
= -(1²) - 4x1 - 2 + 7/1
= 0 !!
Donc j'ai ma 1ere solution mais je ne comprend pas l'histoire de mettre en facteur (x-a)
Je ne vois pas comment résoudre.

[kl4im]

Y'aurait-il quelqu'un ... ?

[c pi]

Bonjour

Tu vois bien qu'en développant tu aboutis à un polynôme du troisième degré
dont la résolution générale n'est pas simple.

C'est pourquoi l'énoncé te suggère de factoriser,
ce qui fera apparaître des polynômes de degré inférieur.

Et comme un produit de facteurs est nul si l'un de ses facteurs est nul,
si tu connais la racine a d'un polynôme p(x),
c'est que (x-a) peut être mis en facteur
puisque ce facteur s'annulera pour x=a.

Si Roman t'a indiqué 1 "à tout hasard", ce n'est pas pour rien.
L'énoncé te donne les bornes des intervalles
où l'expression dont on considère la valeur absolue change de signe,
donc ces bornes correspondent aux valeurs de x qui l'annulent :
1 et -5/2 sont les racines de 2x²+3x-5.

Donc cette expression peut se factoriser ainsi
2x²+3x-5 = (x-1)(x+5/2)(...)
qui est bien un produit qui s'annule pour x=1 et x=-5/2 comme 2x²+3x-5.

Pour en revenir à ton équation f(x)=h(x)
dans chacun des deux cas considérés,
plutôt que de développer,
mieux vaut partir de la forme factorisée de 2x²+3x-5
et chercher à transformer l'équation entière en produit de facteurs nul
dont chacun des facteurs sera plus facile à traiter.