Résolution d'équation

[Lolaabl06]

Bonjour
Voici l'énoncé :
1) H(x)=(1/4)x² + (1/4x²) - (lnx)²
Montrer que l'équation h(x)=x admet une seule solution dans ]0;1]. La solution sera notée alpha.
2) Montrer que l'équation h(x)=1/x admet une seule solution dans ]1;+infini]. La solution sera notée bêta.
3) Montrer que alpha*bêta=1
Pouvez-vous m'aider svp, je suis bloquée des la première question.

Merci

[GaBuZoMeu]

H(x)=(1/4)x² + (1/4x²) - (lnx)²

Si le deuxième terme est , alors ton parenthésage est ambigu, voire incorrect. Il faudrait écrire 1/(4x^2).

As-tu essayé une étude de variation de ?

[Lolaabl06]

Oui c'est bien 1/(4x^2) désolé
J'ai essayé h(x)-x et j'obtiens :
(x^4+1-4x^2*ln(x)^2-4x^3)/4x^2
Mais je n'aboutis à rien
Tout d'abord est ce que ce résultat est correct et si oui comment puis-je l'utiliser ?

Merci

[lyceen95]

Pour montrer qu'une équation f(x)= a admet une seule racine sur un certain intervalle, la démarche est à peu près toujours la même :
- montrer que la fonction est continue et monotone (elle est croissante sur tout l'intervalle, ou bien elle est décroissante sur tout l'intervalle.
- montrer que sur une partie de l'intervalle , f(x) < a, et sur une autre partie, f(x) >a.
Du coup, faisons un dessin :
on a une fonction qui est continue, elle est en-dessous de la droite y=a sur une partie du dessin, et au-dessus de cette droite sur une autre partie du dessin, forcément elle coupe la droite y=a quelque part : il y a au moins une racine.

Et comme en plus elle est monotone ( toujours croissante, ou toujours décroissante), forcément, elle ne coupe la droite y=a q'une seule fois. Donc une seule racine.

Donc objectif : montrer que notre fonction est continue et monotone.

[Lolaabl06]

Merci pour votre réponse
Donc il faut que je fasse la dérivée puis le tableau de variation de la fonction afin de voir si elle est continue et monotone
Après cela je pourrai dire qu'il n'y a qu'une solution

Ce qui me bloque c'est qu'ici on nous demande f(x)=x
J'ai l'habitude d'appliquer le TVI lorque f(x)=0 (ou un autre nombre réel)
Mais avec x, je ne sais pas comment procéder

[Sa Majesté]

Salut,
f(x)=x équivaut à f(x)-x=0.
Si tu appelles g la fonction qui à tout x associe g(x)=f(x)-x, ça équivaut à g(x)=0.

[Lolaabl06]

D'accord merci beaucoup c'est vraiment plus clair
Et donc ce que j'ai précisé dans l'énoncé, soit f(x)-x=
(x^4 + 1-4x^2 * ln(x)^2 - 4x^3) / 4x^2 est correct ?
Dans ce cas je pourrai continuer la première question

[Tuvasbien]

Bonjour, je confirme c'est ça.

[GaBuZoMeu]

Petit portrait de sur . Yapuka démontrer qu'elle est bien décroissante.

[GaBuZoMeu]

, bien sûr.

[Lolaabl06]

Merci j'ai finalement trouvé pour la 1er question

Pour h(x)=1/x comment faut-il procéder ?
Il faut aussi faire h(x) - (1/x) ?

[GaBuZoMeu]

Je comparerais bien h(1/x) et h(x).

[Lolaabl06]

Il sont égaux
h(x)=h(1/x)

[GaBuZoMeu]

Tu peux peut-être en tirer les conséquences ?

[Lolaabl06]

J'ai du mal à trouver
On sait que h(x)=h(1/x)
Mais ici on nous demande h(x)=1/x
Je n'arrive pas à faire de lien

[GaBuZoMeu]

Le lien est pourtant juste sous ton nez. Éloigne-toi un peu si tu en es trop proche.
Un petit coup de pouce:

[Lolaabl06]

[0;+∝[ ?
Et ça va m'apporter quoi de connaître ça pour trouver bêta ?

Merci

[GaBuZoMeu]

Non, voyons !!! Recommençons :



Ça va te permettre de résoudre 2 et 3 les doigts dans le nez, en utilisant 1.

[Lolaabl06]

Oui je comprends bien ce que vous me demandez mais je ne trouve pas
1<x<+∝
Et pour 1/x c'est l'inverse de l'encadrement au dessus
1<x<?

[GaBuZoMeu]

Tu vas y arriver. Ne t'emmêle pas les pinceaux, réfléchis calmement. Je sais, c'est les vacances ...
Si x est supérieur ou égal à 1, alors 1/x est ....