[TS]Recurrence difficile

[Anonyme]

C'est bizarre mais j'ai trouvé cet exercicie dans 1 manuel de TS...
Help please:
pour tout entier n ds N, il existe deux applications polynomiales Pn et Qn telles que pour tout x dans R, cos nx = Pn(cos x) et sin nx = sin x*Qn(cos x).
Comment traduire cette existence?

[phenomene]

Bonjour,

Cela se montre en effet par récurrence. Ce n'est pas difficile, il suffit d'écrire et et d'utiliser les formules de trigonométrie donnant les cosinus et sinus d'une somme, pour montrer la propriété au rang à partir de celle au rang .

Les polynômes sont particulièrement intéressants et s'appellent les polynômes de Chebyshev.

Cordialement.

[Anonyme]

*Cmt tu fais pour l'initialisation:
cos(0*x)=1 et sin(0*x)=0
cmt montrer qu'il existe Po et Qo telles que pour tt réel x :
Po(cosx)=1 et sinx*Qo(cosx)=0???
Dans ta réponse, tu me donnes l'astuces pour le "coeur" du rst par récurrence ms j'en suis loin encore!
Je bloque rien que pr l'initialisation, ss parler du reste...

[phenomene]

Bonjour, les polynômes constants et conviennent donc, ce qui initialise la récurrence.

[MooMooBloo]

maintenant que l'initialisation et le "coeur" sont résolus, c presque fini non?

on peut trouver des exercices de ce type, à mi-chemin entre la TS et la Sup au lieu suivant, previosly posted by khivapia
http://stephane.gonnord.org/PCSI/Prelim/DEPART.PDF

[MooMooBloo]

J'avais fais cet exercice par récurrence, suivant le meme chemin que Phénomène, qui est sans doute la meilleur facon de faire (normal il est prof de math, il doit savoir :id: ) mais ne serait-ce pas possible de faire quelque chose en utilisant le formule de Moivre? en identifiant parties réelles et imaginaires...

[MooMooBloo]

hmmm, au temps pour moi, je crois ca marche pas... mais peut je suis pas assez fort

[Anonyme]

Ca marche aussi, on écrit (cosnx + isinnx)=(cosx+isinx)^n et on développe. On obtient, après identification des parties réelles et imaginaires (j'écris seulement pour le cosinus) : cosnx=somme((k parmi n)*(cosx)^(n-k)*(sinx)^(k)*i^k). Comme on veut que ce soit la partie réelle, il faut que k soit pair, le i^k devient (-1)^(k/2), et comme k est pair, on peut aussi écrire (sinx)^k=(1-cos^2x)^(k/2), il ne reste bien qu'un polynôme en cos x. La même chose pour la partie imaginaire donera le polynôme pour les sinus.
C'est beau l'algèbre ...

[Anonyme]

En supposant ds l'hypothese de recurrence qu il existe Pn: un polynome de degré n, je trouve pr Pn+1 un polynome de degré n+2 et avec des coefficients différents pour k ds {0, 1,...,n}
Normal?

[Anonyme]

Question qui n'a rien à voir avec l'exercice ms qui ne vaut pas l'ouverture d'1 nvelle discussion.
C'est à propos des récurrences de pas doubles et des récurrences fortes.
Qd les utiliser?
Y'at-il des cas de figure ou l'on utilise l'une, lautre +tot que la récurrnce "faible" ou bien c'est juste avec intuition??
MERCI