Récurrence dérivées successives

par **VenusKhali** » 29 Oct 2010, 11:54

Bonjour, je fais appel à vous car je suis bloqué sur un exercice de maths.
Voici le sujet :

" Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (1-2x)e^(2x)
On note f^(1) = f ' ; f^(2) = f '' : f^(3) ...... ; f^(n) les dérivées successives de f.
1) Déterminer f^(2) et f^(3)
2) Montrer par récurrence sur l'entier non nul n, que : f^(n)(x) = 2^n(1-n-2x)e^(2x) "

j'ai facilement réussi la question un mais à la question deux, je suis bloqué à l'étape Hérédité de la récurrence; car je trouve :
S(n+1) = 2^n(1-n-2x)e^(2x) + f^(n+1)
Et je sais pas transformer ce f^(n+1) :mur:

Quelqu'un pourrais donc m'aider ?

Merci d'avance !!! :happy2:

par **Mortelune** » 29 Oct 2010, 11:58

Bonjour.

Comme f^(n+1)=(f^(n))' l'hérédité est à peu près immédiate ;)

A quoi correspond ton S(n+1) ? (parce que j'ai pas compris ^^)

par **VenusKhali** » 29 Oct 2010, 12:05

Ben j'ai essayer de faire une suite de dérivées...
Mais je vais essayer avec ton astuces :)

par **Mortelune** » 29 Oct 2010, 12:11

Ce n'est pas une astuce, c'est la définition ^^

On suppose que l'on a f^(n) avec les formules données et on montre qu'en dérivant on obtient bien f^(n+1) telle que la formule la donne :)

par **VenusKhali** » 29 Oct 2010, 12:16

Merci c'est bon j'ai réussi ! :)
Par contre je ne comprend pas la question suivante :
" Pout tout entier n non nul, la courbe représentative de f(n) admet une tangente horizontale en un point Mn. Calculer les coordonnées xn et yn de Mn. "

Peux-tu m'éclairer s'il-te-plait et peut-être me donner la marche à suivre ? :)

Je te remercie

par **Mortelune** » 29 Oct 2010, 12:45

Déjà si la tangente est horizontale ça veut dire que la pente de la tangente est nulle et comme la pente de la tangente c'est la dérivée, la dérivée s'annule en n.
Par contre je suppose que ton f(n) c'est f^(n) alors il ne te reste plus qu'à résoudre une équation.

par **VenusKhali** » 29 Oct 2010, 13:04

Merci beaucoup !

Pour la question précedente, j'ai trouvé par déduction que (2^n)'(1-n-2x)e^(2x) = 0 mais je sais pas comment le démontrer....

Peux-tu m'aider ?

Je te remercie infiniment :D

par **Mortelune** » 29 Oct 2010, 13:07

Je vois pas d'où sort ton ' (à moins qu'il ne soit pas utilisé pour ce qu'il est).

Sinon dire que f^(n) admet une tangente horizontale en un point entier c'est dire que f^(n+1)(x)=0 admet une solution et que cette solution est un entier.

par **VenusKhali** » 29 Oct 2010, 13:33

Oui mais aprés comment trouver x et y ?
Parce que en plus dans l'équation on a deux inconnues qui sont n et x....
Comment faire ? :mur:

par **Mortelune** » 29 Oct 2010, 13:38

f^(n+1)(x)=0 te donne le

et tu trouve le

tel que

=f^(n)(

)

par **VenusKhali** » 29 Oct 2010, 13:45

Mais comment se débarasser du n qui est dans l'équation ?

par **Mortelune** » 29 Oct 2010, 13:58

Eh bien tu exprimes

en fonction de n (c'est bien pourquoi tu dois avoir un n en indice aussi).

par **VenusKhali** » 29 Oct 2010, 14:56

Je trouve que x = -n/2
C'est juste ? ^^

par **Mortelune** » 29 Oct 2010, 15:04

Oui c'est ça comme le facteur central est le seul à pouvoir s'annuler pour x réel.

par **VenusKhali** » 29 Oct 2010, 15:31

Et pour y je trouve y = 2^(n)*e^(-n)
Mais ca m'a l'air bizarre....

par **Mortelune** » 29 Oct 2010, 15:47

C'est normal ton x annule le n il ne reste plus qu'un 1 dans la parenthèse.

Pour tester tu peux prendre pour n=0, c'est à dire pour f ^^

par **VenusKhali** » 29 Oct 2010, 15:50

Mais c'est juste alors ?

par **Mortelune** » 29 Oct 2010, 15:52

Oui c'est bon.

par **VenusKhali** » 29 Oct 2010, 16:10

Bon ben l'exercice est fini.
Je te remercie sincèrement pour toute l'aide que tu m'as apporté ! :D

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