Dérivées successives

[Bertrand Hamant]

Bonjour


j'aimerais que vous me confirmiez mes doutes s'il vous plait. merci

soit f(x) = 1 / x

calculer les dérivées d'ordre n de la fonction pour n = 1,2,3 et 4, conjecturez l'expression de f nième (x) pour tout entier n > 1

démontrer votre conjecture par récurrence

f'(x) = - 1/x²
f''(x) 2/x^3
f'''(x) = - 6/x^4
f''''(x) = 24/x^5

conjecture f nieme ( x ) = -(1)^n * n! / x^n+1

comment démontrer la conjecture par récurrence merci

[Bertrand Hamant]

1 er temps

n = 1 f'(x) = -1/x²

pn est vraie

c pour après que je ne vois pas

[Bertrand Hamant]

j'aimerais une petite confirmation et une petite indication s'il vous plait pour la démonstration par récurrence

[Bertrand Hamant]

pourriez vous me donner une indication je reste dans le doute

[Bertrand Hamant]

Bonjour


j'aimerais que vous me confirmiez mes doutes s'il vous plait. merci

soit f(x) = 1 / x

calculer les dérivées d'ordre n de la fonction pour n = 1,2,3 et 4, conjecturez l'expression de f nième (x) pour tout entier n > 1

démontrer votre conjecture par récurrence

f'(x) = - 1/x²
f''(x) 2/x^3
f'''(x) = - 6/x^4
f''''(x) = 24/x^5

conjecture f nieme ( x ) = -(1)^n * n! / x^n+1

comment démontrer la conjecture par récurrence merci

1 er temps

n = 1 f'(x) = -1/x²

pn est vraie

c pour après que je ne vois pas

[Bertrand Hamant]

alors amis matheux

[Frangine]

il suffit de faire une recurence sur nième dérivée en supposant qu'elle est donnée par l'expression conjecturée, puisqu'elle est vraie au rang 1.


Puis pour contrôler que la propriété est vraie au rang n+1 il faut redériver la nième dérivée et de simplifier les calculs en remarquant que

n! (n+1) = (n+1)!

et que x^(n+1) / (x^(n+1))^2 = 1/x^(n+2)

Bons calculs : au rang suivant on arrive bien à l'expression espérée.

PS toutes mes excuses mais en TEX j'ai du mal à écrire x exposant (n+1) cela ne donne jamais ce que je veux quelque soit l'endroit où je mets les () et les balises ou fin de balise !!!!