Récurence et divisibilité

[Gth35]

Bonjour,
j'aimerai avoir de l'aide pour cet exercice de spé Maths qui est tiré des anales de BAC S de 1999.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n : 2^(3n ;)1) est un multiple de 7 (on
pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
En déduire que 2^(3n+1) ;)2 est un multiple de 7 et que 2^(3n+2) ;)4 est un multiple
de 7.
2. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.
3. Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier
Ap = 2^p +2^2p +2^3p .
a. Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap, par 7?
b. Démontrer que si p = 3n +1 alors Ap est divisible par 7.
c. Étudier le cas où p = 3n +2.
4. On considère les nombres entiers a et b écrits dans le système binaire :
a = 1001001000 b = 1000100010000.
Vérifier que ces deux nombres sont des nombres de la forme Ap .
Sont-ils divisibles par 7 ?

merci pour votre aide

[mathador]

Bonjour

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n : 23n 1 est un multiple de 7 (on
pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

Posons n = 1 ; calculons : 23*n-1 = 23-1 = 22, or 7 ne divise pas 22.
L'énoncé est donc erroné ...
"En déduire que 23n+1 2 est un multiple de 7 et que 23n+2 4 est un multiple
de 7." ça fait 23n-1 et 23n-2 si je sais encore compter ... étrange, non ?
Pourrais-tu redonner l'énoncé correct ? Sachant que, si c'est tiré des annales, tu dois avoir de bon corrigés disponibles (notam. sur le site france-exam, je crois bien que c'est gratuit)
Cordialement

[Gth35]

Oui désolé c'est une erreur de format j'ai éditer mon message

[Gth35]

Je ne trouve toujours pas quelqu'un peut il m'aider ?
j'ai le debut pour le 1