La réciproque d'une fonction

[bewings13]

bonjour, je galère à trouver la réciproque de cette fct 2x-4)/sqrt(x²-4x+5)
la réciproque est définie sur ]-2;2[ et f définie sur R
svp aidez moi

[mathelot]

bonjour,

on a: (*)

Le domaine de définition de f est R et d'après son tableau de variation, son image est l'intervalle ]-2;2[.
De plus elle est strictement croissante.

sa fonction réciproque est définie sur ]-2;2[ et elle est continue,strictement croissante.

on calcule g en exprimant fonction de .

Pour calculer g (on a x=g(y)) élever l'égalité (*) au carré et se ramener ensuite à annuler un trinôme du second degré de la variable x (ses coefficients étant des fonctions de y)

[mathelot]

Soit l'équation de la courbe de f:

avec

on élève au carré:



par produit en croix, après calculs:



c'est une équation du second degré d'inconnue x, après calculs:





est positif, il y a donc deux racines , notées et :

Après calculs,





Les fonctions paires, comme et fonctions de la variable y, ne sont pas bijectives, n'étant pas injectives.

Comment déterminer à partir de et ?

regardons les limites:




on a donc
pour




on a donc
pour

On en déduit g la bijection réciproque de f:
pour