Recherche : Tétraminos

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Anonyme

Recherche : Tétraminos

par Anonyme » 08 Sep 2013, 21:04

Modifier date de fin Fin du devoir pour le 15 Septembre
Recherche : tetraminos (Terminale S)

Devoir Mathématiques - Exercice - 1ère Bac S


Sujet :

Bonsoir tout le monde,
j'ai besoin de quelques indices !
voici l'énoncé :
On appelle tétramino en T, la forme suivante constituée de 4 carrés de côté 1 :
1) Montrer que l'on peut recouvrir entièrement une grille 4x4 avec des tétraminos en T.
2) Montrer qu'il est par contre impossible de recouvrir un échiquier 10x10 avec uniquement de tels tétraminos.

Le tétramino qu'on doit utiliser est le 3eme sur cette image :
http://lotis.lejeu.free.fr/TITRE%20LOTIS.gif

C'est un exercice de recherche qui me semble très obscur, je ne sais pas où aller, je ne sais pas quoi faire !

Mon travail personnel :

Mon travail est HS... je m'en excuse :/

Pour la question 1) :

On sait qu'un tetramino ne peut remplir que partiellement un carrée de 2x2. Cependant il remplit 1/4 d'un carré 2x3 en remplissant 3/4 d'un autre carrée. En utilisant 4 tétraminos pour remplir partiellement 3 carrés de 2x2 (4*3/4=3), il remplit aussi les 4*1/4 restant c'est à dire 4/4=1. Les 4 carrées 2x2 sont donc totalement remplies par 4 tétraminos.

4*(3/4)+4*(1/4)=0

Il ne reste plus qu'une case vide.

Ci-dessous le petit schéma que j'ai fait :
http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=338219tetramino.jpg

2) 10*(3/4)+10*(1/4)=10 Il reste 10 carreaux qu'on ne peut pas recouvrir.

Merci d'avance de votre aide.

Bonne soirée :)



Titahn
Membre Relatif
Messages: 282
Enregistré le: 06 Mar 2013, 15:51

par Titahn » 09 Sep 2013, 15:08

Salut !

Alors :

1°) Elle m'a l'air bien compliquée ta méthode. Fais un petit schéma avec un carré de 4*4, et en dessinant des tetraminos, montre que tu peux le remplir, ce sera bien plus clair ^^.

2°) Un échiquier fait 8 cases de côté, s'il y en a 10, ça n'est plus un échiquier :p.

2°-Bis) Pour le coup je n'avais aucune idée de comment trouver la réponse à cette question, heureusement que l'ami google existe !

Il y a surement d'autres méthodes mais à défaut de mieux... Il y a 6 étapes consécutives, je n'affiche que la première (les autres sont en blanc, surligne-les si tu veux les lire), histoire que tu puisses progressivement réfléchir par toi même si tu en as envie =).

1 - Colorie le carré comme un damier en alternant cases noires et blanches.

2 - Attribue à chaque case noire la valeur 3 et à chaque case blanche la valeur -1.

3 - Remarque que chaque tétromino recouvre soit 3 cases noires et 1 blanche ou 3 cases blanches et 1 noire.

4 - La valeur de chaque tétromino est donc de 3+3+3-1=8 ou 3-1-1-1=0.

5 - Comme le carré est constitué de 50 cases blanches et de 50 cases noires, la somme des valeurs des cases est 100.

6 - Et en additionnant des 0 et des 8, peut-on obtenir 100 ?


Edit : bon, c'est encore à peu près lisible en forçant, mais je te fais confiance pour ne pas te gâcher le suspens :p. Cela dit, juste avec la première étape, ça reste encore plus énigmatique je trouve !

Edit : bis. Après réflexion, je pense qu'il y a une méthode plus simple, en partant du même principe (encore en blanc, suspens, tout ça ^^).

Une fois que t'as colorié ton carré en 50 cases blanches et 50 noires, tu sais que tu dois placer 25 Triominos pour remplir ton "échiquier". Or un triomino est soit constitué de 3 cases noir et d'une case blanche, soit de 3 cases blanche et d'une case noire.
Pour que toutes les cases soit remplies, comme il y en a autant de noir que de blanches, on doit avoir la moitié des triominos majoritairement noirs, et l'autre moitié majoritairement blanche (si tu avais 12 triominos globalement noir, et 13 globalement blanc, tu n'aurais pas parité du nombre de cases noires (49) et de cases blanches (51) utilisées.
Or ici, on doit utiliser 25 triominos, donc il n'y a pas de possibilité d'en avoir le même nombre de "blancs" et de "noirs". Conclusion, on ne peut pas remplir le carré de triominos !

Même mieux, du coup ça montre qu'une condition nécessaire (mais pas forcément suffisante) est que le nombre de case d'une figure que tu veux remplir par des triominos doit être divisible par 8 !


Tu m'as réveillé pendant une aprèm soporifique à mon stage, merci ^^.

 

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