Recherche d'un maximum

[Billball]

Bonjour, j'aurais besoin de renseignements concernant un exercice touchant la dérivée ; je poste le sujet en entier avec mes réponses actuels

Pour la fabrication d'un livre, on doit respecter sur chacune des pages des marges de 2 cm à droite et à gauche et de 3 cm en haut et en bas.
Soit x et y les deux dimensions, en cm, d'une page



1. On suppose, dans cette question uniquement, que :
x = 28 et y = 31

a) Calculer dans ce cas, en cm², l'aire de la portion de la page disponible pour l'impression.

Aire = (x-2*2)(y-3*2)
Aire = (28 - 4)(31 - 6)
Aire = 600cm²

b) Même question pour x = 34 et y = 26

Aire = (x-2*2)(y-3*2)
Aire = (34 - 4)(26 - 6)
Aire = 600cm²

2. Dans le cas général, exprimer en fonction de x et y, l'aire en cm², de la surface disponible pour l'impression

Aire = (x-4)(x-6)

3.On désire que la surface disponible pour l'impression soit de 600cm²

a) Déterminer y en fonction de x pour que cette condition soit réalisée

(x - 4)(y - 6)= 600
y = (6x + 576)/(x - 4)

b) En déduire l'aire S(x) de la page
c) Etudier les variations de la fonctions S
d) En déduire les dimensions de la page pour que la consommation de papier soit minimale.

Je bloque à ses questions, normalement tout ce qui a au dessus est juste

[rene38]

Bonjour

D'accord avec toi jusqu'à 3.a)
3.b) S(x) = x y non ?
et comme tu connais y en fonction de x, S(x) = x(6x + 576)/(x - 4)
3.c) Calcul de S'(x) --> variations de S --> 3.d) minimum pour S

[Billball]

S(x) = x y non ?
et comme tu connais y en fonction de x, S(x) = x(6x + 576)/(x - 4)

Ah oui ok!
Si j'ai compris :
S(x) = x y

S(x) = x(6x + 576)/(x - 4)



S(x) = x(6x + 576)/(x - 4)
S(x) = (6x² + 576x)/(x-4)

f = u/v ; f' = (u'v-uv') / v²
u(x) = 6x² + 576x / u'(x) = 12x + 576
v(x) = x-4 / v'(x) = 1

S'(x) = ((12x+576)(x-4) - (6x² + 576x)(1)) / (x-4)²
S'(x) = (12x² - 12x + 576x - 2304) - 6x² - 576x / (x-4)²
S'(x) = 6x² - 12x - 2304 / (x-4)²


Si S'(x) est juste, je peux diviser par 3 uniquement le numérateur? ce qui donnerait 2x² -4x - 768

[rene38]

S'(x) = ((12x+576)(x-4) - (6x² + 576x)(1)) / (x-4)²
S'(x) = (12x² - 12x + 576x - 2304) - 6x² - 576x / (x-4)²
S'(x) = 6x² - 12x - 2304 / (x-4)²

Erreur de calcul

Si S'(x) est juste, je peux diviser par 3 uniquement le numérateur? ce qui donnerait 2x² -4x - 768

Et même par 6
Ecris S'(x) = 6(x² - ..x - 384) / (x-4)²
puis factorise le numérateur.

[Billball]

Erreur de calculEt même par 6
Ecris S'(x) = 6(x² - ..x - 384) / (x-4)²
puis factorise le numérateur.

Mercii donc je reprend :

S'(x) = ((12x+576)(x-4) - (6x² + 576x)(1)) / (x-4)²
S'(x) = (12x² - 48x + 576x - 2304) - 6x² -576x / (x-4)²
S'(x) = 6x² - 48x - 2304 / (x-4)²
S'(x) = 6(x² -8x -384) / (x-4)²


ça donnerait :



ensuite, sachant que x = 24 et que l'aire d'impression = 600

Aire = (x-4)(y-6)
y - 6 = Aire / (24-4)
y = 600 / 20 + 6
y = 36

donc la page x = 24 et y 36

[rene38]

Attention : x est une longueur donc x > 0

et tu peux aussi utiliser directement
y = (6x + 576)/(x - 4) pour trouver y connaissant x=24

[Billball]

Attention : x est une longueur donc x > 0

Que veux - tu dire?! Enfin je comprend pas, tu parles me des racines -16 et 24? Si c'est le cas, oui x > 0 car x est une longueur

[rene38]

Je parle du tableau de variation dans lequel x ne peut prendre que des valeurs positives.

[Billball]

Ok donc suffit de rajouter 0 dans le tableau et mettre un intervalle pour dire qu'il peut prendre que les valeurs positives! merci