Raisonnement par récurrence

[youkef-sne]

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice me demandant de démontrer une propriété par récurrence dont voici l'énoncé:
Soit U(n) la suite définie pour tout n par:
U(n)=1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...... 1/(n-1) + 1/n
D'ou: U(n+1) = U(n) + 1/n
Démontrer par récurrence sur k, qu'il existe un entier n non nul telle que
Un >= k pour tout k appartenant a l'ensemble N.

Est ce que je dois montrer que Un est minorée pour un certains réel k ? Ou je dois montrer que lim Un = + inf quand x-> + inf. ?

[Ben314]

Salut,

Tu doit montrer (par récurrence sur k) que :
"Pour tout entier naturel k, il existe un entier naturel n tel que Un>=k"

Ça correspond donc à montrer que la suite Un n'est pas majorée (par définition du "majorée") et donc à montrer qu'elle tend vers +oo vu qu'en plus elle est croissante.
Mais, bon, tu t'en fout un peu vu que c'est pas vraiment ça qui va t'aider à montrer le bidule.

On t'impose donc la méthode qui consiste à appeler Pk la proposition "Il existe un entier n tel que Un>=k".

L'amorce (pour k=0 par exemple) est évidente.

Pour la récurrence, je te donne une indic. : lorsque l'on ajoute des réels, la somme est évidement supérieure à (nombre_de_termes)x(plus_petit_des_termes).
Par exemple, la somme S=1/35+1/36+1/37+1/38+...+1/62+1/63 est composée de 29 termes tous >=1/63 donc S>=29/63.
Et la somme S'=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n-1)+1/(2n) elle est minorée par combien ?

[youkef-sne]

Je ne comprend pas ton exemple ni ta démarche.

[Ben314]

La "démarche" comme tu dit, il n'y a pas à la comprendre, on te l'impose, c'est la récurrence.
Et si tu ne comprend pas que quand on ajoute des réels, la somme fait au moins le plus petit d'entre eux fois le nombre de termes, je pense ne pas pouvoir faire grand chose pour toi. :cry:

[youkef-sne]

En général le raisonnrment par récurrenc j'y arrives mais la on me demande de prouver que Un >= k pour TOUT k appartenant a grand N et non pas Un >= a un chiffre !

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice me demandant de démontrer une propriété par récurrence dont voici l'énoncé:
Soit U(n) la suite définie pour tout n par:
U(n)=1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...... 1/(n-1) + 1/n
D'ou: U(n+1) = U(n) + 1/n
Démontrer par récurrence sur k, qu'il existe un entier n non nul telle que
Un >= k pour tout k appartenant a l'ensemble N.

Est ce que je dois montrer que Un est minorée pour un certains réel k ? Ou je dois montrer que lim Un = + inf quand x-> + inf. ?

Renommons en et en .

En fait, cela signifie que quel que soit l'entier que l'on prend, on peux toujours trouver une somme d'inverse qui lui est supérieur i.e. tel que .
(En conséquence, ).

Exemples : Pour , n'importe quel entier naturel vérifie . Mais par exemple, pour , peut-on trouver un entier naturel p tel que ?

[Ben314]

En général le raisonnrment par récurrenc j'y arrives mais la on me demande de prouver que Un >= k pour TOUT k appartenant a grand N et non pas Un >= a un chiffre !

Non, ce n'est absolument pas ça qu'on te demande de montrer.
On te demande de montrer que (bis et répétita...) "Pour tout entier k, il existe un entier n tel que Un>=k"
Le "pour tout" et le "il existe" sont évidement indispensable à la compréhension du truc. Si tu ne les écrit pas, ça devient "sans queue ni tête".

Contrairement à ce que tu raconte, le "pour tout k" est totalement normal et habituel : lorsqu'on cherche à montrer un truc par récurrence, c'est systématiquement une propriété de la forme "Pour tout entier k blablabla" (que l'on démontre par récurrence sur k).
Le truc un peu moins habituel, c'est que la propriété Pk à démonter par récurrence, c'est "Il existe n tel que Un>=k" (ne pas oublier le "il existe" sans quoi, ça veut dire que dalle...) alors que les récurrence "bètes" c'est juste des truc du style "UkU(k-1)" où il n'intervient pas de deuxième variable.

[youkef-sne]

Mais comment démontrer cette propriété par récurrence ?
Le démomtrer sans utiliser le raisonnement par récurrence, j'aurais pu me débrouiller mais la je vois pas comment faire ?

[Ben314]

Amorce (k=0) :
Existe t'il un entier n tel que U(n)>=0 ?

Hérédité :
On suppose que, pour un certain entier k, la propriété est vérifiée, c'est à dire que l'on connait un entier n tel que U(n)>=k.
On veut montrer que la propriété est encore vrai pour k+1, c'est à dire qu'on veut montrer qu'il existe un entier n' tel que U(n')>=k+1.
Or, grâce à l'hypothèse de récurrence, on a déjà un n tel que U(n)>=k, donc il suffit de trouver un entier n' tel que U(n')>=U(n)+1
...

C'est effectivement pas forcément le plus malin de le faire par récurrence, mais c'est comme ça qu'on te demande de le faire...

[youkef-sne]

Ca y est je crois que j'ai compris merci ! :we:

[youkef-sne]

Amorce (k=0) :
Existe t'il un entier n tel que U(n)>=0 ?

Hérédité :
On suppose que, pour un certain entier k, la propriété est vérifiée, c'est à dire que l'on connait un entier n tel que U(n)>=k.
On veut montrer que la propriété est encore vrai pour k+1, c'est à dire qu'on veut montrer qu'il existe un entier n' tel que U(n')>=k+1.
Or, grâce à l'hypothèse de récurrence, on a déjà un n tel que U(n)>=k, donc il suffit de trouver un entier n' tel que U(n')>=U(n)+1
...

C'est effectivement pas forcément le plus malin de le faire par récurrence, mais c'est comme ça qu'on te demande de le faire...

Voila donc ce que j'ai écris:
Initialisation: Pour k=0, On a : U(1) = 0 donc U(1) >= 0 Donc la propriété est initialiasé.
Hérédité: Supposons que la propriété U(n) >= k est vrai pour un certain rang n. Démontrons que la propriété est héréditaire et donc qu'elle est vrai au rang n+1: Mais a partir de la je n'y arrives pas

[paquito]

Déjà, on commence avec k=1; on a U1=1,donc c'est vrai au rang k=1:

maintenant si tu veux comprendre la suite, si j'écris 1/(n+1)+1/(n+2)+......+1/2n; j'obtiens la somme de n termes qui vont en décroissant et où le plus petit est 1/2n; donc
1/(n+1)>=1/2n, 1/(n+2)>=1/2n,.........1/(2n-1)>=1/2n et 1/2n>=1/2n, donc
1/(n+1)+1/(n+2))+....+1/(2n-1)+1/(2n)>=1/2n+1/2n+......+1/2n+1/2n>=n(1/2n)>=1/2


Donc supposons que pour un entier k>=1, il existe un entier n tel que un>=k;

on peut alors écrire
U4n>=k+1/(n+1)+1/(n+2)+.....+1/(2n)+1/(2n+1)+1/(2n+2)+.........+1/(4n-1)+1/4n>=k+n/2n+2n/4n>=
k+1/2+1/2>=k+1.
La propriété est donc établie au rang k+1 et donc........

Comme je ne sais pas si tu as compris l'astuce principale, je te donne un exemple avec n petit:

1/3+1/4>=1/4+1/4>=2/4>=1/2 ou 1/5+1/6+1/7+1/8>=1/8+1/8+1/8+1/8>=4/8>=1/2.

[youkef-sne]

D'accord mais pourquoi ta écris «U4n>=k+1/(n+1)+1/(n+2)+.....+1/(2n)+1/(2n+1)+1/(2n+2)+.........+1/(4n-1)+1/4n>=k+n/2n+2n/4n>=
k+1/2+1/2>=k+1.» ?
C'est le seul truc que j'ai pas compris.

[paquito]

Parce que si Un>=k, au rang suivant, c'est U4n qui va me permettre de touver U4n>=k+1.
U4n=Un+(1/(n+1)+..........+1/2n)+(1/(2n+1)+......+1/4n), donc
U4n>=k+ 1/2 + 1/2 >=k+1,
car Un>=k, (1/n+1))+.........+1/2n)>=1/2 et (1/(2n+1)+.....+1/4n)>=1/2.

[youkef-sne]

Parce que si Un>=k, au rang suivant, c'est U4n qui va me permettre de touver U4n>=k+1.
U4n=Un+(1/(n+1)+..........+1/2n)+(1/(2n+1)+......+1/4n), donc
U4n>=k+ 1/2 + 1/2 >=k+1,
car Un>=k, (1/n+1))+.........+1/2n)>=1/2 et (1/(2n+1)+.....+1/4n)>=1/2.

D'accord merci pour ton aide et ton explication !