Raisonnement par récurrence

[Aisha Zad]

Bonjour, je poste donc naturellement parce que j'ai un souci au niveau d'un DM à rendre. J'ai fais la plus grosse partie mais malheureusement je bloque sur le dernier exercice. L'exercice en question est :

Pour tout entier n, on considère la propriété P(n) : " 2;) ;) (n+1)² "

1) Pour quelles valeurs de n, cette propriété est-elle vraie?
2) Démontrer par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour les valeurs de n trouver en 1

Alors voici le travail que j'ai fais :

Pour le 1) j'ai fais manuellement P(0) vrai, P(1) faux etc jusque m'apercevoir que P(7), P(8), P(9) 10, 11, 12 vrai . Bon il y a une infinité donc c'est juste pas possible de calculer comme ça. J'ai calculé au hasard P(52) par exemple, et on vois que la propriété est fausse. Je n'arrive pas à comprendre comment trouver toutes les valeurs de n pour lesquelles la propriété est vrai

Pour le 2), j'ai tenter de me lancer dans une raisonnement par récurrence, qui contredit un peu le travail manuel que j'ai fais juste avant.
Ça donne :
On remarque que la propriété semble exacte à partir du rang 7

Initialisation : P(7) vrai (je ne poste pas les détails)

Hérédité : On suppose que pour un rang 7 P(n) vrai
Alors 2^(n+1) = 2 x 2;) ;) (n+1)² x 2
= 2 x 2;) ;) (n²+1+2n) x 2
=2 x 2;) ;) 2n²+2+4n
Or, pour tout n;)7, on a 2n²+4n+2 ;) (n+2)²
On en déduit que pour tout n;) 7, 2^(n+1) > (n+1)² ce qui fait que P(n+1) vrai

Voilà pour le 2) j'ai repris le modèle d'un exercice similaire trouvé sur internet, qu'en pensez vous?
Merci

[Carpate]

Bonjour, je poste donc naturellement parce que j'ai un souci au niveau d'un DM à rendre. J'ai fais la plus grosse partie mais malheureusement je bloque sur le dernier exercice. L'exercice en question est :

Pour tout entier n, on considère la propriété P(n) : " 2;) (n+1)² "

1) Pour quelles valeurs de n, cette propriété est-elle vraie?
2) Démontrer par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour les valeurs de n trouver en 1

Alors voici le travail que j'ai fais :

Pour le 1) j'ai fais manuellement P(0) vrai, P(1) faux etc jusque m'apercevoir que P(7), P(8), P(9) 10, 11, 12 vrai . Bon il y a une infinité donc c'est juste pas possible de calculer comme ça. J'ai calculé au hasard P(52) par exemple, et on vois que la propriété est fausse. Je n'arrive pas à comprendre comment trouver toutes les valeurs de n pour lesquelles la propriété est vrai

Pour le 2), j'ai tenter de me lancer dans une raisonnement par récurrence, qui contredit un peu le travail manuel que j'ai fais juste avant.
Ça donne :
On remarque que la propriété semble exacte à partir du rang 7

Initialisation : P(7) vrai (je ne poste pas les détails)

Hérédité : On suppose que pour un rang 7 P(n) vrai
Alors 2^(n+1) = 2 x 2;) (n+1)² x 2
= 2 x 2;) (n²+1+2n) x 2
=2 x 2;) 2n²+2+4n
Or, pour tout n;)7, on a 2n²+4n+2 (n+2)²
On en déduit que pour tout n;) 7, 2^(n+1) > (n+1)² ce qui fait que P(n+1) vrai

Voilà pour le 2) j'ai repris le modèle d'un exercice similaire trouvé sur internet, qu'en pensez vous?
Merci

La propriéte est vrai à partir de n=6 et non de n=7
Ta démonstration par récurrence montre qu'elle est vrai pour tout

[Aisha Zad]

Je viens de vérifier, et c'est vrai la propriété est vrai à partir de n=6 merci beaucoup.

Donc mon raisonnement par récurrence est juste?

[mathelot]

si alors l'inégalité est récurrente, ce qui
est le cas pour

l'inégalité est vraie à partir de

[Aisha Zad]

si alors l'inégalité est récurrente, ce qui
est le cas pour

Cela signifie t-il que mon raisonnement par récurrence est faux? J'ai du mal à comprendre le lien dans votre réponse Mathelot

[mathelot]

Or, pour tout n;)7, on a 2n²+4n+2 (n+2)²

c'est vrai. mais à partir de

la propriété est héréditaire à partir du rang 2

Elle est vraie à partir du rang 6

tout cela est possible car une propriété fausse peut être héréditaire (ou non)

Exemple: "tous les citoyens français sont riches" est fausse mais héréditaire.

[zygomatique]

Cela signifie t-il que mon raisonnement par récurrence est faux? J'ai du mal à comprendre le lien dans votre réponse Mathelot

soit P(n) la propriété :

supposons P(n) vraie (hypothèse de récurrence)



or pour n >= 2 ....

la propriété est héréditaire à partir de 2

or P(5) est faux et P(6) est vraie donc P(n) est vraie pour tout n >= 6

....

voir http://www.ilemaths.net/forum-sujet-611263.html

[Aisha Zad]

Ah d'accord, c'est une chose que je ne savais pas. La consigne était : Démontrer par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour les valeurs de n trouver en 1.
Ca veux dire qu'il faut commencer par n=1? Sachant que la propriété est Fausse de n=1 à n=5 ?
Et donc mon raisonnement montrait qu'elle est héréditaire à partir de n;)2 c'est donc cela?

[mathelot]

oui ......................

[Aisha Zad]

Que veux donc dire " la propriété P(n) est vraie pour les valeurs de n trouver en 1"? Parce que montrer qu'elle est héréditaire à partir de 2, comme je l'ai fait (d'ailleurs je pensait l'avoir montrer pour le rang 6 minimum), ne repond pas à la question et ne montre pas non plus qu'elle est vraie

[mathelot]

elle est vraie pour

elle est héréditaire pour

c"était demandé:

démontrer qu'elle est vraie et héréditaire pour