Petit problème de raisonnement par récurrence

[julie7]

Bonjour à tous

Je dois montrer par un raisonnement par récurrence que 2^n supérieur ou égal à 100n pour tout supérieur à 10

J'ai commencé. Je ne pense pas que ce soit très bien fait. Toutefois, tmon problème est que je bloque pour expliquer la suite.


Soit P(n) la propriété : '' 2^n supérieur ou égal à 100n'' où n supérieur à 10
On veut prouver que P(n) est vraie pour tout entier supérieur à 10.


Mon travail :

On raisonne par récurrence.

1) on initiative

pour n=11, 2^11=2048 et 11*100=1100

donc pour n=11,
2^n supérieur ou égal à 100n est vraie
donc P(11) est vraie

2) on considère un entier naturel supérieur à 10 ''k'' tel que P(k) est vraie, c'est à dire que 2^k est supérieur ou égal à 100k

On prouve que P(k+1) est vrai, c'est à dire que ....

Et là je ne sais plus quoi faire.


Bonne après-midi.

[Nightmare]

Salut !

Eh bien on suppose que et il faut montrer que

Mais termine !

[julie7]

Bonjour nightmare

Merci de m'avoir répondue.

Je crois comprendre ce que tu m'as montrée.


en fait, je pense qu'il faut que simplifie 2^k+2^k de manière à obtenir quelquechose de supérieur à 100k+100

Je ne sais pas comment développer cela plus.
Sans me donner la réponse, pourrais-tu me donner un indice ?
ou me montrer avec un autre exemple ? stp

[Ericovitchi]

Te compliques pas :

[Djmaxgamer]

Nonjour à tous

Je dois montrer par un raisonnement par récurrence que 2^n supérieur ou égal à 100n pour tout supérieur à 10

J'ai commencé. Je ne pense pas que ce soit très bien fait. Toutefois, tmon problème est que je bloque pour expliquer la suite.


Soit P(n) la propriété : '' 2^n supérieur ou égal à 100n'' où n supérieur à 10
On veut prouver que P(n) est vraie pour tout entier supérieur à 10.


Mon travail :

[I]On raisonne par récurrence.

1) on initiative

On initialise

pour n=11

Tu peux initialiser pour n=10 (je pense que dans l'énoncé tu a "pour n supérieur ou égal à 10)

2^11=2048 et 11*100=1100

donc pour n=11,
2^n supérieur ou égal à 100n est vraie
donc P(11) est vraie

2) on considère un entier naturel supérieur à 10 ''k'' tel que P(k) est vraie, c'est à dire que 2^k est supérieur ou égal à 100k

Attention à la réaction ! Je ne sais pas si vous avez vu la récurrence simple ou complète, mais la rédaction est mauvaise ici.

Supposons que . (tu peux aussi dire "Supposons que P(p) est vraie").

Montrons que ...

[julie7]

Bonjour Ericovitchi et Djmaxgamer

<< J'ai repris la rédaction de mon prof. Mais c'est vrai que ''supposons''' est sans doute mieux aproprié que ''considérons''.

<< Je ne comprends pas comment tu passes de 2^k+2^k à 100k+100k

[Ericovitchi]

regardes bien le post de nightmare il dit

Eh bien on suppose que

donc ça fait parti de l'hypothèse

[julie7]

Merci Ericovitchi de m'avoir répondue ( et aux autres aussi)

Ah ok je comprends finalement ce que tu as rédigé.

Donc, est-ce qu'on peut dire que j'ai démontré la propriété héréditaire avec ça ?
Et Qu'il ne me reste seulement à faire la conclusion ?

Je vais rédiger la suite de l'exercice.

[julie7]

En bleu, ce que j'avais déjà fait, en VIOLEt la suite.

On raisonne par récurrence.

1) on initiative

pour n=11, 2^11=2048 et 11*100=1100

donc pour n=11,
2^n supérieur ou égal à 100n est vraie
donc P(11) est vraie

2) on considère (SUPPOSE) un entier naturel supérieur à 10 ''k'' tel que P(k) est vraie, c'est à dire que 2^k est supérieur ou égal à 100k

On prouve que P(k+1) est vrai, c'est à dire que ....
2^(k+1)supérieur ou égal à 100(k+1)

2k+1sup ou = à 2*2^k sup ou = à 100k+100k sup ou égal 100k+100 sup ou égal 100(k+1)

3) On conclue :
On a prouvé que pr tt entier naturel k (sup à10) que si P(k) est vraie, P(k+1) est vraie. Comme P(11) est vraie, d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie, c'est à dire que 2^n sup ou égal 100n pr tt n sup à 10

PS : comment vous faites pour écrire en écriture mathématique sur l'ordinateur.

Bonne après-midi

[Nightmare]

C'est tout bon !

[julie7]

OK.
Merci de m'avoir aidée. :++:
A une prochaine fois