Principe du raisonnement par récurrence

par **Nightmare** » 07 Sep 2010, 19:34

Mathusalem a écrit:Le vrai probleme c'est de faire l'initialisation avec n = 1

Yes ! Enfin, ce n'est pas un problème en soi, le problème, c'est la suite du raisonnement, qui suppose effectivement que l'initialisation se fasse à n=2. Et bien entendue, P(2) est fausse.

par **Rebelle_** » 08 Sep 2010, 14:44

Bonjour ! =)

Bon, je viens de faire un exercice toute seule pour voir si tout est au point (en particulier au niveau de la rédaction). Pourrais-je avoir votre avis ?

Soit la suite (u_n) de N dans R définie telle que :

{ u_0 = 5
{ u_{n+1) = -(1/2)*u_n + 3

Montrer par récurrence que la suite (u_n) est bornée par 1/2 et 5.

----

Soit P(n) la propriété qui, pour tout n naturel, est définie par P(n) : 1/2 < u_n < 5. (égalités non strictes dans tout l'exercice).

- initialisation : on a 1/2 < u_0 < 5, soit P(n_0) vraie.

- hérédité : on pose un p fixé dans N tel que P(p) soit vraie. Montrons alors que P(p) => P(p+1).

On aurait donc 1/2 < u_{p+1} < 5 soit :

i) 1/2 < -(1/2)*u_p + 3
<=> -(5/2) < -(1/2)*u_p
<=> 5 > u_p.

ii) -(1/2)*u_p + 3 < 5
<=> -(1/2)*u_p < 2
<=> u_p > -(1/2)

Soit, 1/2 < u_p < 5.
Donc, P(n) => P(n+1).

- conclusion : la propriété P(n) est vraie quel que soit le rang n, et (u_n) est bien bornée par 1/2 et 5.

----

J'ai l'impression de m'être trompée de sens dans le raisonnement... C'est étrange.

Qu'en pensez-vous ?

Merci beaucoup :D

par **Nightmare** » 08 Sep 2010, 14:48

Salut,

ce que tu as fait est correct mais dangereux. Pour montrer que P(n) => P(n+1), tu pars de P(n+1) et tu arrives à P(n). Le fait que ce soit correct ici est dû aux équivalences entre tes lignes dans i) et ii), mais dans le cas général, il vaut mieux faire l'inverse, c'est à dire partir de l'hypothèse de récurrence P(n) et essayer d'arriver à P(n+1).

Une autre approche, strictement équivalente mais qui a le mérite de simplifier les choses lorsque la fonction génératrice devient un peu compliquée, est d'étudier le comportement de la fonction f (définie par u(n+1)=f(u(n))) sur [1/2 ; 5].

par **Rebelle_** » 08 Sep 2010, 18:10

Oui, je me disais bien aussi...
Alors, comment faudrait-il que je rédige ? Est-ce que la manière suivante est bonne ?

[...]

- hérédité : on pose un p fixé dans N tel que P(p) soit vraie, soit tel que 1/2 < u_p < 5.
On veut montrer que P(n) => P(n+1), soit que 1/2 < u_{p+1} < 5.

On sait, par hypothèse, que 1/2 < u_p < 5 (1), et :
(1) <=> -(1/4) > -(1/2)*u_p > -(5/2)
<=> 11/4 > -(1/2)*u_p + 3 > 1/2,
soit 1/2 < u_{p+1} < 11/4 (et 11/4 < 5).
Donc, si P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie.

- conclusion : la propriété P(n) est vraie quel que soit le rang n, et (u_n) est minorée par 1/2 et majorée par 11/4 (donc également par 5). On peut dire que la suite (u_n) est bornée par 1/2 et 5.

----

Je trouve étrange que l'énoncé me demande de montrer que la fonction est bornée par 5, un majorant certes mais pas le plus petit ? C'est une simple blague ou je me suis trompée quelque part ?
Je demande ça parce que par une autre méthode je trouve que la limite de (u_n) est 2...

par **Nightmare** » 08 Sep 2010, 18:30

Oui c'est mieux comme ça. On ne peut pas prendre de majorant plus petit étant donné que u(0)=5 !

par **Rebelle_** » 08 Sep 2010, 19:46

Mais alors ma conclusion est fausse !
Je dis que 2,75 est un majorant ce qui n'est pas possible (puisque u_0=5), et pourtant ma démonstration le prouve.
Et j'ai une autre démonstration (que je te montrerai tout à l'heure), qui me dit que (u_n) admet pour limite 2 :/

Je ne comprends pas trop...

par **Rebelle_** » 08 Sep 2010, 19:51

Mais alors ma conclusion est fausse !
Je dis que 2,75 majore la suite. Si, comme ma démonstration semble le prouver, c'est le cas, alors 5 majore aussi. Mais d'après cette même démonstration 2,75 serait le plus petit des majorants, non ? Problème avec l'énoncé je crois :/

J'ai une autre démonstration (que je te montrerais tout à l'heure, si tu le veux), qui me dit que (u_n) admet pour limite 2. Dans ce cas-là ça voudrait dire que la suite (u_n) "part" de 5 (en u_0) et décroit jusqu'à 2, mais ça rend la question de l'énoncé encore plus étrange, à cause du 1/2 (qui est bien un minorant mais pas le plus grand !).

Je m'embrouille trop x) ^^'

par **Nightmare** » 08 Sep 2010, 19:55

Dans ta démonstration, tu ne fais que prouver que si u(n) < 5 alors u(n+1) < 11/4 ce qui est effectivement vrai. Par contre, dire que u(n) < 11/4 pour tout n est faux, juste à cause du rang 0.

par **Rebelle_** » 08 Sep 2010, 19:57

Comment pourrais-je faire dans ce cas ? : S

par **Nightmare** » 08 Sep 2010, 20:03

Que veux-tu faire de plus? Tu as bien prouvé ce qu'on t'a demandé non? :happy3:

par **Nightmare** » 08 Sep 2010, 20:05

Pour la convergence, si (un) converge, u(n+1) converge vers la même limite l , et l'égalité u(n+1)=au(n)+b entraine alors en passant à la limite que l=al+b (en remplaçant a et b par les valeurs de ton énoncé) qui nous fournit alors la valeur de la limite éventuelle. Il reste à montrer que la suite est effectivement convergente. Pour ça, ayant prouvé qu'elle était bornée, il ne te suffit plus qu'à montrer qu'elle est monotone, puisqu'un théorème du cours affirme qu'une suite croissante (resp. décroissante) et majorée (resp. minorée) est convergente.

par **Rebelle_** » 08 Sep 2010, 20:12

Oui je vois très bien ce que tu veux dire. J'ai remarqué que c'était une suite arithmético-géométrique et j'ai pu l'étudier facilement. Le problème c'est que j'ai trouvé des résultats contradictoires.

Par contre, tu as vu mon post, qu'en penses-tu ? Je ne suis pas sûre de bien comprendre tout ceci.

Je relirai tout ça calmement ce soir. =)

par **Rebelle_** » 08 Sep 2010, 21:57

Nightmare a écrit:Dans ta démonstration, tu ne fais que prouver que si u(n) < 5 alors u(n+1) < 11/4 ce qui est effectivement vrai. Par contre, dire que u(n) < 11/4 pour tout n est faux, juste à cause du rang 0.

Oui c'est vrai, tu as raison...
Une idée pour moi ? :/

par **Nightmare** » 09 Sep 2010, 01:10

Que te manque-t-il pour conclure?

par **Rebelle_** » 09 Sep 2010, 21:49

Changer les conditions sur l'initialisation ?

par **Olympus** » 09 Sep 2010, 22:32

Salut !

J'ai lu et relu ta démo et je ne vois toujours pas ce qui manquerait . T'as bien prouvé ce qui t'est demandé, sauf si tu parles d'une autre question .

par **Rebelle_** » 09 Sep 2010, 22:41

Non, je ne parle pas d'une autre question :S
Ma démo me semble bonne aussi, et l'initialisation semble bonne aussi parce que tout marche... Bref, je m'embrouille juste toute seule pour rien :D

Je viens de relire le message de Nightmare à 19h55 hier et je viens de comprendre ce qui me tracaissait : c'était la différent entre u_n < 5 pour tout n et u_{n+1} < 11/4 ^^'

En tout cas merci beaucoup =P

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