Propriété

[youkef-sne]

Bonjour,
Soit x(1), x(2), x(3),........x(n) des réels strictement positif, n>1.
Démontrer par récurrence que x(1)/x(2) + x(2)/x(3) + x(3)/x(4) ..... + x(n-1)/x(n) + x(n)/x(1) > 1
Je suis complètement bloqué ! Je ne sais pas comment l'initialiser ni prouver l'hérédité.
De l'aide serait la bienvenu et merci d'avance :-)

[Manny06]

Bonjour,
Soit x(1), x(2), x(3),........x(n) des réels strictement positif, n>1.
Démontrer par récurrence que x(1)/x(2) + x(2)/x(3) + x(3)/x(4) ..... + x(n-1)/x(n) + x(n)/x(1) > 1
Je suis complètement bloqué ! Je ne sais pas comment l'initialiser ni prouver l'hérédité.
De l'aide serait la bienvenu et merci d'avance

pour l'initialisation
x1/x2+x2/x1>1 se démontre facilement en passant tout dans un membre et en utilisant (x1-x2)²

[Tiruxa]

Bonjour,
Soit x(1), x(2), x(3),........x(n) des réels strictement positif, n>1.
Démontrer par récurrence que x(1)/x(2) + x(2)/x(3) + x(3)/x(4) ..... + x(n-1)/x(n) + x(n)/x(1) > 1
Je suis complètement bloqué ! Je ne sais pas comment l'initialiser ni prouver l'hérédité.
De l'aide serait la bienvenu et merci d'avance

Bonjour,

Je suppose que c'est n et non pas 1 dans le second membre sinon l'inégalité est triviale puisque pour le plus grand des x(n) la fraction où il se trouve au numérateur est supérieure à 1.

S'il s'agit donc de n, l'inégalité des moyennes permet de conclure, il suffit d'écrire que la moyenne géométrique (elle vaut 1) est supérieure à la moyenne harmonique.

[Tiruxa]

Plus en détail :
Si les ai sont des réels positifs on a :



On pose




Si S est la somme des fractions que l'on cherche à minorer par n, on obtient :

ou encore

[paquito]

Ce n'est pas si facile.
Notons Sn=x1/x2+x2/x3+ +x(n-1)/xn+ xn/x1
si l'un des réels xk>x(k+1), il n y a rien à démontrer car xk/x(k-1)>1.
Si deux Réels sont égaux, c'est pareil On aura 1+des termes positifs.
Reste le cas x11

Donc, dans tous les cas de figure, on a Sn>1.

Pour la récurrence, on a S(n+1)=Sn-xn/x1+xn/x(n+1)+x(n+1)/x1, mais ça ne me donne rien (pas moyen de montrer que-xn/x1+xn/x(n+1)+x(n+1)/x1>=0!!!

[paquito]

Plus en détail :
Si les ai sont des réels positifs on a :



On pose




Si S est la somme des fractions que l'on cherche à minorer par n, on obtient :

ou encore

Bonjour Tiruxa,
ta démonstration est très belle; quand je pense que je me suis tué pour démontrer par une récurrence impossible un résultat évident! Par contre, je pense que moyennes harmonique et géométrique ne doivent pas figurer au programme, c'est dommage car cela donne de jolis résultats; en tout cas cet exercice est foireux.

[Ben314]

C'est effectivement pas trivial, surtout si on veut respecter l'énoncé et le faire par récurrence...
Le seul truc que j'ai trouvé par récurrence est assez "capilotracté".

On va montrer par récurrence sur que :

Amorce : Pour , il est clair que

Hérédité : On suppose que la propriété est vrai pour un certain
Considérons maintenant des réels et posons .
L'objectif est donc de montrer que .
Pour ce faire, posons et appliquons l'H.R. à :
On a donc or
donc on a
c'est à dire
De plus
Donc pour tout on a

[paquito]

C'est effectivement pas trivial, surtout si on veut respecter l'énoncé et le faire par récurrence...
Le seul truc que j'ai trouvé par récurrence est assez "capilotracté".

On va montrer par récurrence sur que :

Amorce : Pour , il est clair que

Hérédité : On suppose que la propriété est vrai pour un certain
Considérons maintenant des réels et posons .
L'objectif est donc de montrer que .
Pour ce faire, posons et appliquons l'H.R. à :
On a donc or
donc on a
c'est à dire
De plus
Donc pour tout on a

Effectivement, ça décoiffe! Il fallait déjà avoir le courage de chercher une solution!

[Tiruxa]

Chapeau en effet Ben314 !

Les inégalités c'est souvent hard...

[youkef-sne]

Ben314, peut etre que ta demonstration est juste mais pour l'initialisation il y a un problème: On demande de prouver que la propriété est strictement superieur a 1 et non supérieur ou égal a 1

[Ben314]

Ben314, peut etre que ta demonstration est juste mais pour l'initialisation il y a un problème: On demande de prouver que la propriété est strictement superieur a 1 et non supérieur ou égal a 1

Oui, mais j'initialise avec n=1 uniquement pour pas me faire c... à étudier x/y+y/x.
Après, vu que ce qui est demandé, c'est de montrer que le truc est >1 pour n strictement plus grand que 1, ben ça marche impec.

Et si par hasard ce qui est demandé, c'est de montrer le truc pour n>=1, alors c'est que l'énoncé est faux car pour n=1, le truc vaut clairement 1.

P.S. De plus, le minorant trouvé, à savoir n, est le meilleur possible et il n'est atteint que si tout les xi sont égaux (il suffit de suivre les calculs et de regarder les cas d'égalités dans la preuve).

[youkef-sne]

Oui, mais j'initialise avec n=1 uniquement pour pas me faire c... à étudier x/y+y/x.
Après, vu que ce qui est demandé, c'est de montrer que le truc est >1 pour n strictement plus grand que 1, ben ça marche impec.

Et si par hasard ce qui est demandé, c'est de montrer le truc pour n>=1, alors c'est que l'énoncé est faux car pour n=1, le truc vaut clairement 1.

P.S. De plus, le minorant trouvé, à savoir n, est le meilleur possible et il n'est atteint que si tout les xi sont égaux (il suffit de suivre les calculs et de regarder les cas d'égalités dans la preuve).

Ah ouai d'accord merci beaucoup