Propriété

[youkef-sne]

Salut tout le monde,
Voila on me demande de démontre par récurrence que :
5^(n+2) >= 4^(n+2) + 3^(n+2).
Voila ce que j'ai fait:

Initialisation: Pour n=0, on a : 5^(0+2) >= 4^(0+2) + 3^(0+2)
<=> 5^2 >= 4^2 + 3^2 <=> 25 >~ 25
Do.c la propriété est initialisée.

Hérédité: Supposons que cette propriété soit vrai pour un certain rang p. On a alors :
5^(p+2) >= 4^(p+2).+ 3^(p+2). Démontrons que cette propriété est héréditaire et donc, qu'elle est vrai au rang p+1:

et a partir de la j'suis bloquée, pouvez vous m'aider svp ?

[Thomas Joseph]

Multiplie les deux membres de ton inégalité par 5

[youkef-sne]

Donc si je fais ce que tu ma dis, théoriquement on obtient ça:
5^(p+2) >= 4^(p+2) + 3^(p+2)
<=>5*5^(p+1) >= 5*4^(p+2) + 5*3^(p+2)
Mais je ne vois pas en quoi ça nous aide ?

[Thomas Joseph]

Donc si je fais ce que tu ma dis, théoriquement on obtient ça:
5^(p+2) >= 4^(p+2) + 3^(p+2)
5*5^(p+1) >= 5*4^(p+2) + 5*3^(p+2)
Mais je ne vois pas en quoi ça nous aide ?

Il y a une erreur dans le premier membre, c'est une puissance p+2 qu'il faut noter, par multiplication par 5 tu obtiendras une puissance p+1+2 qui est ce dont tu as besoin pour l'hérédité.
Par ailleurs : inutile de travailler par équivalence, les implications suffisent.

Pour finir:
sur le membre de droite : tu peux majorer 5*4^(p+2) par 4^(p+3) et 5*3^(p+2) par 3^(p+3)

Tu peux alors conclure.

[youkef-sne]

Je reprend : on a :
5*5^(p+2) >= 5*4^(p+2) + 5*3^(p+2)
5^(p+1+2) >= 4^(p+3) + 3^(p+3) (car 5*4^(p+2) < 4^(p+3) et 5*3^(p+2) < 3^(p+3) )
5^((p+1)+2) >= 4^((p+1)+2) + 3^((p+1)+2) et la propriété est vrai pour tout m appartenant a N
C'est bon ou pas ?

[Thomas Joseph]

Je reprend : on a :
5*5^(p+2) >= 5*4^(p+2) + 5*3^(p+2)
5^(p+1+2) >= 4^(p+3) + 3^(p+3) (car 5*4^(p+2) > 4^(p+3) et 5*3^(p+2) > 3^(p+3) )
5^((p+1)+2) >= 4^((p+1)+2) + 3^((p+1)+2) et la propriété est vrai pour tout m appartenant a N
C'est bon ou pas ?

J'ai corrigé en rouge, le reste est bon

[youkef-sne]

J'ai corrigé en rouge, le reste est bon

Ok merci