[Résolu] probleme de récurrence

[haricot29]

Coucou tout le monde ! :happy2:
Voila j'ai un devoir libre a faire en maths et je viens chercher de l'aide pour le faire, j'ai l'habitude de venir sur ce forum ou en général l'aide est satisfaisante. Mon objectif comprendre ce que je fais donc je mets l'énoncé et tente de le résoudre tout en écoutant vos propositions pr réussir a le faire. Merci d'avance !!!

Exercice :
Montrer que pour tout entier naturel n : 3^(n+6) - 3^n est divisible par 7.

P(n) : " 3^(n+6) - 3^n est divisible par 7 "

-initialisation : pour n=0
3^(n+6) - 3^n = 3^6 -1 = 728
728/7 = 104
P(n) est vraie pour n=0.

-hérédité : Soit n E N
Supposons que 3^(n+6) - 3^n est divisble par 7
Montrons que 3^(n+7) - 3^(n+1) est divisible par 7

-démonstration :
si 3^(n+6) - 3^n est divisble par 7
il existe un réel k E N* tel que 3^(n+6) - 3^n = 7k
il faut que je commmence comme cela ?

[nox]

non ca ne sert à rien...part de ta formule au rang n+1 : 3^(n+7) - 3^(n+1) et essaye de faire apparaître l'hypothèse de récurrence

[haricot29]

-démonstration :
si 3^(n+6) - 3^n est divisble par 7
il existe un réel k E N* tel que 3^(n+6) - 3^n = 7k
3^(n+7) - 3^(n+1) = 3*3^(n+6) - 3*3^n
= 3(3^(n+6)-3^n)
= 3 (7k) --> HR
= 21k

- conclusion : quelque soit n E N* : 3^(n+6) - 3^n est divisible par 7.

ALors ?? :doh: :doh:

[nox]

= 3(3^(n+6)-3^n)
= 3 (7k +1)
- conclusion : quelque soit n E N* : 3^(n+6) - 3^n est divisible par 7.

Hem ^^

je vois rien de divisible par 7 là...pourquoi un +1 ? sinon c'est bon.
C'est ce que je pensais simplement arrivé ici
3(3^(n+6)-3^n)
on peut simplement dire que par hypothèse de récurrence 3^(n+6)-3^n est divisible par 7 et conclure.
Sinon tu pars bien de la formule au rang n+1 donc on est d'accord ^^

[haricot29]

= 3 (7k) --> HR
= 21k

- conclusion : quelque soit n E N* : 3^(n+6) - 3^n est divisible par 7.


DSL

[nox]

ca roule pour moi comme ca :happy2: