(non résolu) Term S: Raisonnement par Récurrence ac fonction

[llicea]

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=exp(-x²)
On note f^(n) la dérivée n-ième de la fonction f:
f^(o)=f, f^(1)=f', f^(2)=f"; plus généralement pour tout entier naturel n >ou= 2, f^(n+1)est la dérivée de f^(n).

Montrer par recurrence que, pour tout entier naturel n:
f^(n) existe et pour tout réel x, f^(n)(x)=exp(-x²)Pn(x) où Pn(x) est un polynôme dont le terme de plus haut degré est ((-2)^n)x^n


J'ai déjà eu du mal à comprendre le raisonnement par récurrence mais là je suis perdue... Comment faire l'initialisation? Ou même comment prouver l'existence de f^(n)?

[gol_di_grosso]

pour n=0 c'est bon t'as
f(x)=exp(-x²)(-2)^0)x^0=exp(-x²)
donc c OK
ensuite tu suppose que c'est vrai pour n cad f^(n)(x)=exp(-x²)Pn(x) où Pn(x) est un polynôme dont le terme de plus haut degré est ((-2)^n)x^n

que dire de f^(n+1)(x)
=la dérivée de f^(n)(x) qui est un produit ...

ce qu'il faut voir c'est que :
f^(n+1)(x)=-2x exp(-x²)Pn(x) + (Pn(x))' exp(-x²)=exp(-x²)(-2x+(Pn(x))')

[llicea]

OK pour l'initialisation, j'ai trouvé l'erreur que j'avais faite...



ce qu'il faut voir c'est que :
f^(n+1)(x)=-2x exp(-x²)Pn(x) + (Pn(x))' exp(-x²)=exp(-x²)(-2x+(Pn(x))')

Cette étape correspond à l'hérédité, c'est ça? Mais dans ce cas, ne s'agit il pas de vérifier à nouveau l'égalité en remplaçant n par n+1? ... En gros je ne comprend pas comment on en arrive là.

[gol_di_grosso]

dans un raisonnement par récurrence tu montre que U0 ou U je sais pas quoi est vraie (c'est l'initialisation).
puis tu suppose que un est vraie et tu montre que u(n+1) est alors vrai
également c'est à dire un "implique" u(n+1) (étape d'hérédité)

on dit hérédité car si c'est vrai pour un ceratin un (u0 ici) alors ça l'est pour tout les suivant (c héréditaire ! )

bref

Cette étape correspond à l'hérédité, c'est ça? Mais dans ce cas, ne s'agit il pas de vérifier à nouveau l'égalité en remplaçant n par n+1? ... En gros je ne comprend pas comment on en arrive là.
oui
si tu pare de f(n+1)(x) mais ça tu sais que c'est la dérivé de f(n)(x)
f(n+1)(x))=(f(n)(x) )'
et tu as supposé que f^(n)(x)=exp(-x²)Pn(x) donc dérive et tu trouve ce qu'il faut (non?)

[llicea]

concernant l'initialisation,

f^(0)(x) est la dérivée de f(x)=exp(-x²)
on est donc censé trouver que exp(-x²)(-2)^0)x^0 = - exp(-x²)
car la dérivée de exp(-x²) est -exp(-x²) non?
le problème c'est que je trouve exp(-x²)(-2)^0)x^0 = exp(-x²)

ou alors l'initialisation ne se fait pas à n=0 ?

[llicea]

up, s'il vous plait... je suis vraiment bloquée