Problème problématique ?

par **Sk!nNeR** » 12 Sep 2007, 18:25

Bonjour, voilà, je suis rentré en seconde il y a tout juste 1 semaine, et le prof de maths nous a déjà donné un DM qui s'avère... difficile....
Il y a une question à laquelle je ne comprend pour ainsi dire : rien !

"On pose a = 2k avec k (appartient à) N (entiers naturels). Démontrer qu'alors b² = 2k² et en déduire que b est pair".

J'ai cogité la dessus pendant tout une nuit... Je n'ai strictement aucune idée de la démarche à suivre, je n'ai pas vu ça en 3 ème.

Je ne veux en aucun cas que quelqu'un me donne la réponse, j'aimerai juste que quelqu'un me donne un indice ou la démarche à suivre... (j'avais pensé aux nombres premiers..?)

Merci d'avance !

par **Cygnusx1** » 12 Sep 2007, 18:43

Il manque des données. Il doit y avoir un lien entre a et b que tu n'as pas donnée.
La on ne connait rien sur b alors on peut bien poser b²=2k² si ca nous plait.

Bon on va quand meme voir si b est pair si b=2k².
Suppose que b est impair et voit ce que ca donne pour b².
Tu auras alors le résultat que tu cherches.

Complete l'énoncé et je me ferais un plaisir de t'aider.

par **Sk!nNeR** » 12 Sep 2007, 18:46

je te promets que c'est tout ce qu'il y a écrit sur la feuille !!! c'est le premier exercice, j'ai recopié la phrase mot pour mot

par **Sk!nNeR** » 12 Sep 2007, 18:47

je peux comprendre que b² est pair, mais je ne vois pas comment tu démontre que b l'est...

par **maf** » 12 Sep 2007, 18:57

t'es sur de la donnée ??

Parce que b n'est pas tellement pair ...

k = 1 on a racine de 2
k = 2 on a racine de 8
... :briques:

Revoir la donnée je pense ... parce que y a quand même plein de choses qui clochent !!

par **Sk!nNeR** » 12 Sep 2007, 19:00

Citation de mon devoir maison :
"On pose a = 2k avec k (appartient à) N (entiers relatifs). Démontrer qu'alors b² = 2k² et en déduire que b est pair.

par **Sk!nNeR** » 12 Sep 2007, 19:02

j'ai peu être une idée ?? pour b = nombre pair...

2k = si on multiplie n'importe quel nombre par 2, il est divisible par 2 :o et tout nombre divisible par 2 est pair, non ??

par **Joker62** » 12 Sep 2007, 19:07

Soit b un nombre pair

Alors on peut l'écrire de la forme b = 2k

b² = (2k)² = 4k² = 2*(2k²) donc b² est un nombre pair.

Maintenant, montrons que si b² est pair alors b est pair
On procède par contraposée :

Soit b un entier impair : alors il existe k tel que b = 2k+1
D'où b² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2.(2k² + 2k) + 1 qui est impair

Conclusion b² pair => b pair

par **maf** » 12 Sep 2007, 20:04

J'avais pas pensé que la parenthèse manquait ... :mur:

par **uztop** » 12 Sep 2007, 22:27

Salut,

je crois que le but de la question qui a été posée à Sk!nNeR est de montrer que sqrt(2) ne peut pas s'écrire sous la forme a/b, avec a et b appartenantà N
sqrt = racine carrée

La démo:
Supposons que sqrt(2)=a/b
a et b ne peuvent pas être pairs tous les deux, sinon, il suffit de simplifier par 2 jusqu'à ce qu'un des deux nombres soit impair.
En mettant l'expression au carré, on a:
2=a²/b² => a²=2b² donc a² est pair, ce qui implique que a est pair.
On peut donc poser a=2k

En mettant l'expression au carré,on a:
2=(2k)²/b²
2=4k²/b²
b²=2k² et on retombe sur la question posée par Sk!nNeR

On trouve donc que b est pair aussi. Or on a vu au début que c'était impossible. Ca prouve donc que sqrt(2) ne peut pas d'écrire sous la forme a/b

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