Pb pour une demonstration 1ère S

[Doridoriane]

Bonsoir,
J'ai une narration de recherches a rendre pour lundi que j'ai finie mais il y a juste que une propriété que j'ai utilisée et je veux prouver que c'est toujours vrai mais je ne sais pas comment. La propriété en question est : Lorsque l'on a n poteaux et une longueur de surface donnée, c'est le polygone a n cotés qui maximise la surface.
Merci d'avance

[chan79]

Salut
Pour un périmètre donné, le polygone à n côtés qui a la plus grande aire est le polygone régulier.

[Ben314]

Salut,
Une preuve "élémentaire" peut se faire en deux temps (les premières preuve datent des grecs donc peuvent se faire uniquement à l'aide de considérations purement géométriques) :

1) Il faut que les longueurs des cotés du polygone soient les mêmes :
Tu regarde ce qui se passe en ne déplaçant qu'un seul piquet M et en laissant les autres à la même place.
Si A est le piquet suivant et B le piquet précédent, cela revient à chercher le triangle ABM de plus grande surface avec les points A, B et le périmètre du triangle fixé.
Partant d'un triangle ABM non isocèle en M, montre que le fait de déplacer M en le gardant à la même distance de la droite (AB) et en le mettant sur la médiatrice du segment [AB] ne change pas la surface, mais diminue le périmètre.
On doit donc légèrement éloigner M de la droite (AB) pour retrouver le même périmètre qu'au départ et cela va augmenter la surface.

2) Il faut que les angles du polygone soient les mêmes :
a) Si tu n'a que 3 piquet, c'est fini : il faut prendre un triangle équilatéral.
b) Si tu as 4 piquet, il faut donc prendre un quadrilatère avec 4 cotés égaux, c'est à dire un losange et tu vérifie trés façilement que, parmi les losanges de coté fixé, c'est le carré qui a la plus grande surface.
c) Si le nombre de cotés est supérieur à 5. On part d'un polygône dont tout les cotés sont égaux.
On considère 2 points M et N non successifs du poygône, on note A,B les points avant/aprés M sur le polygône et C,D ceux avant/aprés N et on suppose que les angles AMB et CND sont différents.
Il faut montrer que dans ce cas, on peut augmenter la somme des surfaces de AMB et CND sans changer la somme des deux périmètres. Pour se faire, il suffit d'évaluer la nouvelle surface qu'on aura si on déplace M et N de façon à ce que les triangles AMB et CND restent isocèles (en N et en M), aient toujours le même périmètre mais qu'ils soient semblables. Par des considérations géométriques élémentaire (que je te laisse chercher...) on montre que la surface a augmentée.

[Doridoriane]

D'accord, je chercherai pour les considérations géometriques elementaires en tout cas merci beaucoup