Pas de limite

[Doraki]

Si tan(n)/n a une limite, c'est 0, parcequ'elle a une infinité de valeurs positives et de valeurs négatives.

Si je me trompe pas, tan(n)/n diverge <=> il existe A>0, et une suite d'entiers (an,bn) tels que bn est impair et |an/bn - pi/2| < A/bn²

Le développement en fraction continue de pi/2 donne bien ce qu'il faut, vu que 2 dénominateurs successifs ne peuvent pas être pairs tous les deux.

Et la même chose dit que tan(pi*x*n)/n diverge pour tout x irrationnel.

[Alpha]

Merci Doraki. :happy3:

Pourrais-tu me détailler le raisonnement qui conduit à l'équivalence s'il te plaît (ou juste m'en expliquer les grandes lignes)?

[Doraki]

If faut partir du fait que, quand x tend vers 0,
|tan(pi/2+x)| = |cos(x)/sin(x)| = 1/|x| + o(1).

tan(n)/n diverge <=> il existe A > 0 et une suite (an) telle que |tan(an)| > an*A

Si A > 0 et an est un entier, en écrivant an = bn*pi/2 + cn avec bn entier impair, tan(an) = tan(pi/2+cn), donc si ça tend vers l'infini, alors |cn| tend vers 0, et donc pour n assez grand,
an*A < |tan(an)| = 1/|cn| + o(1) < 2/|cn|,
donc |cn|*an < A' avec A' = 2/A :

(réciproquement, si on a une suite (an,cn) telle que |cn|*an est majorée par B, alors |cn| tend vers 0, et donc pour n assez grand, |tan(an)| = 1/|cn|+o(1) > 1/2|cn| > an * (1/2B), donc tan(an)/an reste au dessus de B' avec B' = 1/2B, et donc tan(n)/n diverge)

On a donc : tan(n)/n diverge <=> il existe A > 0 et une suite (an,bn,cn) telle que : an et bn sont entiers, bn est imapir, an = bn*pi/2 + cn, |cn| <= pi/2, et |an*cn| < A.

On regarde ce que ça veut dire :
En fait, an/bn va être une approximation de pi/2 :
L'erreur de l'approximation, dn, vaut :
dn = an/bn - pi/2 = (an - bn*pi/2)/bn = cn / bn.

La condition |an*cn| < A équivaut à, pour dn :
|dn| = |an*cn / (an*bn)| < A/(an*bn).
Dans ce sens, mieux on approxime pi/2, plus (tan(an)/an) va être grand

Mais A/(an*bn) = A/(bn²*(pi/2+dn)) = (2A/pi)/(bn²*(1+2dn/pi))
Et comme dn -> 0, c'est bien équivalent à ce qu'il existe une constante A>0,
telle que |dn| < A/bn².

[Alpha]

Merci! Ce n'était donc quand même pas direct, ca me rassure.

Je vais avoir de quoi m'occuper ce soir en rentrant après le boulot! :happy3: