Pas de limite

[Nightmare]

Hello,

Sauriez-vous me montrer que la fonction n'admet pas de limite lorsque ? Même question pour la suite .

Question subsidiaire : Trouver une fonction f continue qui n'admette pas de limite en +oo mais telle que la suite converge.

:happy3:

[benekire2]

Salut nightmare,

Pour ta question subsidiaire : on prend f(x)=0 si x est entier et f(x)=1 si x n'est pas entier.

Dans le même genre : Montrer que les fonctions sinx et cosx définie sur R n'ont pas de limite puis montrer (plus dur) que les suites cos n et sin n n'ont pas de limite ...

[Nightmare]

pour la question subsidiaire, j'ai oublié de dire que je voulais f continue évidemment :lol3:


Sinon pour l'exercice, ça ressemble à sin(x) et cos(x) mais c'est un peu plus intéressant. Des idées?

[benekire2]

Ah oui, avec f continue c'est un peu plus dur ... je vais y réfléchir , faut vraiment que je trouve le "livre des contres exemples" ...

[Alpha]

Sinon pour l'exercice, ça ressemble à sin(x) et cos(x) mais c'est un peu plus intéressant. Des idées?

En ce qui concerne f, si elle admet une limite ce ne peut-être que 0 puisqu'elle s'annule périodiquement. On montre ensuite que ce n'est pas possible, car en se fixant un entier A>0, pour tout M>0, on prend un intervalle ](2k+1)pi, (2k+3)pi[ situé après M et on trouve un x dedans tel que f(x) soit plus grand que A.

[benekire2]

Alors pour la fonction, tanx/x on peut exploiter les limites de tan en pi/2+k pi et en couplant avec la définition de la limite on a rapidement une contradiction ( on traite le cas limite fini et le cas infini)

Pour la suite c'est un peu plus tendu. Je pense que va falloir trouver un truc genre comme avec cos et sin, mais je vois pas encore.

[benekire2]

En ce qui concerne f, si elle admet une limite ce ne peut-être que 0 puisqu'elle s'annule périodiquement. On montre ensuite que ce n'est pas possible, car en se fixant un entier A>0, pour tout M>0, on prend un intervalle ](2k+1)pi, (2k+3)pi[ situé après M et on trouve un x dedans tel que f(x) soit plus grand que A.

Ta preuve est mieux que la mienne :zen:

[benekire2]

La question subsidiaire :

[Nightmare]

Ok pour tan(x)/x !

[Nightmare]

La question subsidiaire :

Ca me va :happy3:

[benekire2]

Tu peut me donner une indic pour la suite tan(n)/n ? Je vois vraiment pas comment faire !
Merci !

[Alpha]

Indication (je me permets d'en donner une) : Sous-suite extraite.

Solution :
Si tan(n)/n converge vers l, c'est aussi le cas de sa sous-suite extraite tan(2n)/2n. En transformant l'expression de tan(2n) en fonction de tan(n) et tan²(n), on montre que la convergence de la suite vers l entraînerait que 1/(1-tan²(n)) converge vers 1, ce qui est impossible puisque cette quantité est toujours soit supérieure à 1, soit négative.
EDIT : sur la fin, c'est n'importe quoi. Initialement, j'avais gardé par erreur un facteur 2 au numérateur, donc le raisonnement marchait, enfin, seulement si l différent de 0. Et quand je me suis apercu que le facteur 2 n'existait pas, je ne me suis pas rendu compte que le raisonnement ne marchait plus (pour l quelconque cette fois).

[benekire2]

Ok, je vais voir,

mais je ne savais pas qu'on avait le droit d'utiliser les suites extraites, c'est un topic "lycée" en principe.

[Alpha]

D'accord, il y a très certainement une autre facon plus "lycée" de faire alors. Ma solution ne viendra donc qu'en complément. :we: (ceci dit, la propriété que j'utilise est assez évidente, même pour un lycéen)

[Alpha]

Ma réponse est erronée, j'ai fait une grossière erreur sur la fin. J'essaie de reprendre ca. :we:

[Nightmare]

Alpha > En fait, on montre assez facilement que si tan(n)/n converge, c'est forcément vers 0. Problème, pour l=0, ton raisonnement ne fonction plus!

[Alpha]

Alpha > En fait, on montre assez facilement que si tan(n)/n converge, c'est forcément vers 0. Problème, pour l=0, ton raisonnement ne fonction plus!

Oui oui j'ai bien vu :lol4: d'ailleurs j'ai édité ma solution pour expliquer pourquoi j'ai pris des vessies pour des lanternes. Bref, c'est ca de faire des maths sur un post-it au boulot (bah quoi, j'ai rien à faire^^)

[Alpha]

Salut, un petit up pour ce fil.

J'aimerais bien avoir la démonstration du fait que tan(n)/n n'admet pas de limite...

Personnellement, j'ai d'abord essayé de voir si je pouvais montrer que tan(n) n'était pas majorée, tout en sachant pertinemment que ça ne résolvait pas le problème.

J'ai écrit que tan(n) = tan(n+kpi), et je voulais me servir des sous groupes de R pour montrer que n+kpi pouvait être aussi proche qu'on le voulait de pi/2. Bref, de toute façon je n'ai pas poussé plus loin puisque ça ne répond pas à la question (et en plus ça va au-delà du programme du lycée).

Pour l'histoire de montrer que si tan(n)/n admet une limite, c'est forcément 0, je pense qu'il suffit de dire que cette suite admet des valeurs négatives comme positives au-delà de n'importe quel rang.

Une réponse?

Merci.

[Nightmare]

Hello,

en fait je m'attendais pas vraiment à avoir de réponses concrète sur cette dernière question, juste des idées. La démonstration, celle que je connais en tout cas, n'est pas facile. Basiquement, on peut montrer qu'il existe une infini d'entiers tels que tan(n) / n dépasse pi/2, ce qui permet de conclure quant à la non existence de la limite. C'est montrer ce point qui est délicat, pour cela, l'auteur dont j'ai lu la démonstration employait l'approximation des irrationnels par des fonctions continues. Problème, je n'ai plus la main sur l'article, je vais essayer de le retrouver.

[Alpha]

Problème, je n'ai plus la main sur l'article, je vais essayer de le retrouver.

Merci, c'est très sympa. :happy3: (et merci pour ta réponse dans tous les cas)