Paradoxe de simpson, formulation mathématiques

[tournesoljaune35]

Bonjour,
Etudiant le paradoxe de Simpson, j'ai trouvé divers manières mathématiques pour le représenter (vecteurs, graphes, arithmétique, ...). Cependant, sur la formulation en terme de probabilités conditionnelles, je n'arrive pas à saisir comment on peut définir une variable de conditionnement.
De plus, je ne comprends pas exactement d'où viennent les deux dernières lignes de ce que je vous ai écrit ci dessous.
Merci d'avance aux personnes qui prendront le temps de lire et pourront m'expliquer plus clairement les propos ci dessous qui sont posés comme tel sur plusieurs sites, je n'ai jamais trouvé d'explication à ceux ci.

Le paradoxe apparaît, lorsque pour un certain x, on a :
P(Y = 1 | X = x, Z = z) > P(Y = 1 | X ≠ x, Z ≠ z)
pour tous les z, mais :
P(Y = 1 | X = x) < P(Y = 1 | X ≠ x)
Ceci peut être expliqué par le fait que :
P(Y = 1 | X = x) = ∑ P(Y = 1 | X = x, Z = z)P(Z = z| X = x)
P(Y = 1 | X ≠ x) = ∑ P(Y = 1 | X ≠ x, Z = z)P(Z = z | X ≠ x)

Bonne journée

[Ben314]

Salut,
Ben une "variable de conditionnement", c'est une variable supplémentaire que tu rajoute à tes données pour faire une étude par "sous-cas". L'exemple qu'ils donnent dans Wiki, c'est, face à des taux de réussite de vaccin, de rajouter comme variable l'age de façon a avoir des taux de réussite par tranche d'age et pas uniquement un taux global.

Sinon, concernant les deux égalités de la fin de ton post, ben ça découle de façon immédiate de la définition de ce qu'est une proba conditionnelle :
La proba. d'avoir A sachant B, c'est, par définition, p(A|B) = p(AnB)/p(B) (ce qui est intuitivement évident : on "relativise" en remplaçant l'espace entier Omega par B).
Donc
P(Y = 1 | X = x, Z = z) x P(Z = z| X = x)
= P(Y = 1, X = x, Z = z) / P(X = x, Z = z) x P(X = x, Z = z) / P(X = x)
= P(Y = 1, X = x, Z = z) / P(X = x)
Et si tu somme pour toutes les valeurs de z possible, ben ça fait
= P(Y = 1, X = x) / P(X = x)
C'est à dire = P(Y = 1 | X = x)