Formulation ambigue, fonction définie sur un intervalle

[chombier]

Bonjour à tous,
Depuis le lycée (il y a très longtemps), j'ai toujours été gêné par cette formulation :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I

Est-ce que ça veux dire que
1) l'ensemble de définition de f est I et que c'est un intervalle
2) I est un intervalle inclus dans l'ensemble de définition de f ?

En seconde, quand il s'agit de variations, on est clairement dans le cas 2), où on peut dire que "f est croissante sue [0; 2] et décroissante sur [2; 5]

Quand il s'agit de maximum et de minimum, c'est beaucoup plus ambigu, car cela regroupe tous les extremum locaux (si on interdit les intervalles vides), et ça exclus les extremums globaux si l'ensemble de définition n'est pas un intervalle.

Bref, qu'est-ce que vous comprenez spontanément si on vous parle d'une fonction "définie sur un intervalle I" ?

[chombier]

Pour la continuité c'est encore pire, car il peut très bien arriver que la restriction d'une une fonction à un intervalle I soit continue sans que f sois continue en tout point de I.

C'est aussi ce qui me gène dans l'approche 1). Si on définit la continuité/monotonie/whatever sur les fonctions dont l'ensemble de définition est un intervalle, c'est incroyablement restrictif ! On ne peut même pas parler de la fonction inverse...

[Sylviel]

En gros il y a trois phases dans la scolarité :
1) on ne définit pas trop précisément les choses car on a peur que l'abstraction embrouille les élèves (-> Lycée)
2) on définit tout proprement (-> prépa)
3) on évite d'alourdir le discours en laissant l'élève auto-compléter les éléments "évident"

Pour ce qui est de la définition d'une application il faudrait normalement systématiquement définir un triplet ensemble de départ, ensemble d'arrivée et graphe.

Pour les profs de lycée (principalement) on a introduit une distinction entre fonction et application. (Distinction généralement oubliée par la suite...)
Dans ce contexte une fonction f de R dans R ne signifie pas forcément que f(x) est définie pour tout élément. Cela permet de poser la question "quel est l'ensemble de définition de la fonction f".

Donc,

pour un niveau lycée, je comprends la phrase "Soit f une fonction définie sur un intervalle I"
comme "soit f une fonction dont I est inclus dans l'ensemble de définition".

pour un niveau début de prépa je comprends la phrase "soit f une application de I (dans R ?)"

pour un niveau supérieur... ça dépendras du contexte : il n'y a probablement qu'un sens qui fasse sens, ou alors ils coïncident tous.

[chombier]

Bonjour et merci pour ta réponse.

J'ai l'impression que le programme actuel des seconde fait un mix des deux (j'enseigne en seconde)

Je cite le B.O. : (https://cache.media.education.gouv.fr/f ... 062957.pdf)

Contenus
- Croissance, décroissance, monotonie d’une fonction définie sur un intervalle. Tableau
de variations.
- Maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle.

Pour la croissance/décroissance, la fonction peut-être décroissante sur un intervalle et croissante sur un second. On est donc dans le cas où I est inclus dans l'ensemble de définition
- de maximum sur un intervalle, mais ils ne parlent que de maximum global. On est donc dans le cas où I est l'ensemble de définition de la fonction. Ce qui au passage est une restriction qui n'a aucun sens.

Du coup j'ai oublié l'intervalle pour les extremum, un maximum global c'est un maximum global.

Personnelement ça m'a toujours troublé ces histoires, j'ai besoin de rigueur sinon je me trompe.
A cause de ça j'ai toujours pensé que "continue sur un intervalle I" était équivalent à "la restriction de f est continue sur I", ce qui est faux.

Puis il y a des profs qui trichent, ils prennent des intervalles ouverts, et dans ce cas là il y a équivalence. Mais ils ne le disent pas (d'où la question légitime de l'apprenant : pourquoi un intervalle ouvert ? Y a-t-il vraiment équivalence dans ce cas ? Comment le démontre-t-on ?)

[Sylviel]

J'enseigne en post bac, je ne connais pas bien les subtilité du programme

En revanche le "maximum d'une fonction sur un intervalle I" est une notion parfaitement définie, différente du maximum local ou global, que f soit définie uniquement sur I ou non : max_{x\in I} f(x)

[Sylviel]

Dans le même genre, voici comment je comprends " Croissance, décroissance, monotonie d’une fonction définie sur un intervalle." C'est la croissance de la restriction de la fonction sur l'intervalle :


Je suis d'accord que la vraie difficulté (et le piège classique) c'est sur la continuité.

[chombier]

J'enseigne en post bac, je ne connais pas bien les subtilité du programme

En revanche le "maximum d'une fonction sur un intervalle I" est une notion parfaitement définie, différente du maximum local ou global, que f soit définie uniquement sur I ou non : max_{x\in I} f(x)

C'est défini mais je pense qu'il n'est pas nécessaire demander à I d'être un intervalle.

Si , le maximum de f sur E est


Il y a des formulations dont il faut se méfier, je devrais faire un glossaire mais typiquement "défini sur I", "on passe à la limite", "on passe à l'inf", "pour h petit"...

Rien à voir, mais on ne peut plus éditer ses messages ?

[Black Jack]

pour un niveau lycée, je comprends la phrase "Soit f une fonction définie sur un intervalle I"
comme "soit f une fonction dont I est inclus dans l'ensemble de définition".

Cela me choque profondément.

[hdci]

Bonjour,

pour un niveau lycée, je comprends la phrase "Soit f une fonction définie sur un intervalle I"
comme "soit f une fonction dont I est inclus dans l'ensemble de définition".

Et bien en fait non. Au lycée, cela signifie très précisément que I est l'ensemble de définition.

Même si la formule permet de calculer "en d'autres valeurs" : la mention "soit f définie sur [0;2] telle que l'image de x est 3x" est bien une fonction (application) de [0;2] dans IR et qui n'est pas définie en -1 ni en 3 même si on pourrait "calculer" pour ces nombres.

la restriction d'une une fonction à un intervalle I soit continue sans que f sois continue en tout point de I

.
Dans quel cas ? La définition de "f est continue sur I" est très précisément "f est continue en tout point de I".

[chombier]

Bonjour,

pour un niveau lycée, je comprends la phrase "Soit f une fonction définie sur un intervalle I"
comme "soit f une fonction dont I est inclus dans l'ensemble de définition".

Et bien en fait non. Au lycée, cela signifie très précisément que I est l'ensemble de définition.

Même si la formule permet de calculer "en d'autres valeurs" : la mention "soit f définie sur [0;2] telle que l'image de x est 3x" est bien une fonction (application) de [0;2] dans IR et qui n'est pas définie en -1 ni en 3 même si on pourrait "calculer" pour ces nombres.

Ce n'est pas ce genre de formulation qui prose problème.
Ce qui pose problème c'est de donner cette définition ;

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est croissante sur I si lorsque x augmente sur I alors f (x) augmente.
Autrement dit, pour tous réels x1 et x2 de I tels que x1 ⩽ x2 , alors f (x1) ⩽ f (x2).

Dans ce contexte, il est sous-entendu que I est un sous-ensemble de l'ensemble de définition de f.

la restriction d'une une fonction à un intervalle I soit continue sans que f sois continue en tout point de I

.
Dans quel cas ? La définition de "f est continue sur I" est très précisément "f est continue en tout point de I".

La restriction à [0; 1[ de la fonction partie entière est continue mais la fonction partie entière n'est pas continue sur [0; 1[

[chombier]

Pour ce qui est de la définition d'une application il faudrait normalement systématiquement définir un triplet ensemble de départ, ensemble d'arrivée et graphe.

Là aussi il y a des choses à dire, dans le supérieur il y en a qui ne ne gênent pas pour dire qu'un suite réelle ne converge pas "dans R" mais qu'elle converge "dans R barre". Alors ok, on change l'ensemble d'arrivée, mais c'est très ambigu aussi ! A mettre dans mon glossaire aussi.

Pour les profs de lycée (principalement) on a introduit une distinction entre fonction et application. (Distinction généralement oubliée par la suite...)

Je ne fais pas cette distinction, je la trouve inutile.

Dans ce contexte une fonction f de R dans R ne signifie pas forcément que f(x) est définie pour tout élément. Cela permet de poser la question "quel est l'ensemble de définition de la fonction f".

Moi je parle d'ensemble de départ. L'ensemble de départ peut être R (c'est en quelque sorte les candidats), mais l'ensemble définition est inclus dans R. Et je leur explique qu'en seconde, les ensembles de départ et d'arrivés sont toujour R.

Ce qui ne m'empeche pas de leur donner plein d'autres exemples (typiquement je présente la translation comme une foncion, et j'insiste sur le vocabulaire identique : l'image du point A par la translation de vecteur AB est le point B).

C'est intéressant d'enseigner au lycée car on est obligé de faire des choix, de s'y tenir, et d'avoir une cohérence globale.

[chombier]

Cela me choque profondément.

Et pourtant : https://www.maths-et-tiques.fr/telech/1 ... tionsM.pdf

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
- Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I :
si a < b alors f(a) <= f(b).

Ce qui me choque encore plus, c'est que parfois ça veux dire et parfois ça veux dire

[hdci]

Ce qui pose problème c'est de donner cette définition ;
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est croissante sur I si lorsque x augmente sur I alors f (x) augmente.
Autrement dit, pour tous réels x1 et x2 de I tels que x1 ⩽ x2 , alors f (x1) ⩽ f (x2).

Dans ce contexte, il est sous-entendu que I est un sous-ensemble de l'ensemble de définition de f.

Si on veut être vraiment être rigoureux et dire que f est définie "ailleurs" que sur I, on écrira "soit f une fonction définie sur un ensemble D et I un intervalle inclus dans D".
Evidemment, en fonction du ontexte, de ce qu'on cherche, de ce qu'on regarde, de ce qu'on étudie, on peut faire des abus de langages.
Mais à la lecture "soit f une fonction définie sur un intervalle I", on ne se soucie absolumnt pas de ce qui se passe ailleurs que dans l'intervalle.

hdci a écrit:
chombier a écrit:
la restriction d'une une fonction à un intervalle I soit continue sans que f sois continue en tout point de I
.
Dans quel cas ? La définition de "f est continue sur I" est très précisément "f est continue en tout point de I".

La restriction à [0; 1[ de la fonction partie entière est continue mais la fonction partie entière n'est pas continue sur [0; 1[

Quel est l'intervalle I ici ? Est-ce [0;1] auquel cas la fonction n'est pas continue sur l'intervalle, ou est-ce [0;1[ auquel cas la fonction est continue sur l'intervalle ? Ne mélangez pas les intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts. Si f est continue sur I, par définition elle est continue en tout point de I.

En synthèse, si vous dites ou si vous lisez "soit f une fonction continue sur I", il ne faut rien présumer sur ce qui se passe ailleurs que dans I, donc assumer que l'ensemble de définition est bien I.

[Sylviel]

Quel est l'intervalle I ici ? Est-ce [0;1] auquel cas la fonction n'est pas continue sur l'intervalle, ou est-ce [0;1[ auquel cas la fonction est continue sur l'intervalle ?

Relis la remarque qui est fait avant de lui tomber dessus peut-être ?

Soit E la fonction partie entière (de R dans R).
E n'est pas continue en 0.
(E n'est donc pas continue sur l'intervalle [0,1[)
En revanche la restriction de E à [0,1[ est continue en 0 (et même continue tout court).

Et bien en fait non. Au lycée, cela signifie très précisément que I est l'ensemble de définition.

Même si la formule permet de calculer "en d'autres valeurs" : la mention "soit f définie sur [0;2] telle que l'image de x est 3x" est bien une fonction (application) de [0;2] dans IR et qui n'est pas définie en -1 ni en 3 même si on pourrait "calculer" pour ces nombres.

Une des raisons qui me font dire que les choses ne sont pas "très exactement" ce que tu dis au lycée c'est le nombre d'exercice qui commencent par "donner l'ensemble de définition de f". Rigoureusement parlant cette question n'a pas de sens, sauf à différencier fonctions et application (ce qui n'est fait qu'au lycée je pense), et donner l'ensemble d'origine "candidat" de la fonction afin de déterminer le plus grand ensemble sur lequel la fonction est défini.

Là aussi il y a des choses à dire, dans le supérieur il y en a qui ne ne gênent pas pour dire qu'un suite réelle ne converge pas "dans R" mais qu'elle converge "dans R barre". Alors ok, on change l'ensemble d'arrivée, mais c'est très ambigu aussi ! A mettre dans mon glossaire aussi.

Je ne vois pas ce que tu trouves d'ambigu ?
La notion de limite dépend de la topologie associée. Usuellement dans R on prends la topologie issue de la norme. Dans R barre on utilise une topologie différente (qu'on peut construire à partir d'une métrique également).

Un autre exemple : la suite des approximation décimale de pi converge dans R, pas dans Q, et cela ne devrait pas te choquer

[hdci]

@Sylviel :

Quel est l'intervalle I ici ? Est-ce [0;1] auquel cas la fonction n'est pas continue sur l'intervalle, ou est-ce [0;1[ auquel cas la fonction est continue sur l'intervalle ?


Relis la remarque qui est fait avant de lui tomber dessus peut-être ?

Je ne pensais pas "lui tomber dessus" ; mais répondre à deux points : le premier est "dans quel cas une fonction pourrait être continue sur I sans être continue en tout point de I", et la réponse à cette question (peut-être lue hâtivement) me fait penser qu'il y a des confusions ; notamment :

La restriction à [0; 1[ de la fonction partie entière est continue mais la fonction partie entière n'est pas continue sur [0; 1[

Une des raisons qui me font dire que les choses ne sont pas "très exactement" ce que tu dis au lycée c'est le nombre d'exercice qui commencent par "donner l'ensemble de définition de f". Rigoureusement parlant cette question n'a pas de sens, sauf à différencier fonctions et application (ce qui n'est fait qu'au lycée je pense), et donner l'ensemble d'origine "candidat" de la fonction afin de déterminer le plus grand ensemble sur lequel la fonction est défini.

C'est vrai, en partie : on ne dit pas "soit f une fonction définie sur R ; quel est son ensemble de définition ?" ; a contrario on donne une "formule de calcul". Je suis d'accord avec toi, sans le dire, on fait une différence entre "fonction" et "application", bien que le terme d'"application" ait disparu (les anglo-saxons ne font pas la distinction me semble-t-il). Cela rend d'ailleurs les choses un peu plus confuses il me semble (la preuve, les interrogations de chombier).

Pour en revenir au propos initial, il me semble que dire qu'une "fonction f définie sur un intervalle I a telle propriété" ne peut être interprété que comme I, ensemble de définition, ou bien ce qui revient au même, f, restriction d'une fonction ("application") sur l'intervalle I.
Dans les deux cas on ne se soucie pas de ce qui se passe "au-delà de I" - quand bien même les images seraient calculées avec une formule explicite qui donnerait des résultats "ailleurs".
Exemple : je prends un objet, je le place à 10m au-dessus du sol, je le laisse tomber et j'exprime la vitesse en fonction de la longueur parcourue. J'ai bien une fonction définie sur l'intervalle I=[0;10], elle n'est pas définie au-delà de 10 puisqu'après 10m, l'objet reste sur le sol. Mais la vitesse s'exprime par et on pourrait la calculer bien au-delà de 10, mais cela serait sans objet (et faux de surcroît) dans le cadre de mon étude.

[chombier]

Un autre exemple : la suite des approximation décimale de pi converge dans R, pas dans Q, et cela ne devrait pas te choquer

Ça ne me choque plus car j'ai compris ce qui était sous-entendu.

Mais formellement, il y a deux suites : dans le premier cas l'ensemble d'arrivée est Q (la suite est donc un triplet (N, Q, F), dans le second cas, l'ensemble d'arrivée est R (et la suite est donc un triplet (N, R, F)). La première ne converge pas, la seconde converge.

[Sylviel]

Je ne pensais pas "lui tomber dessus"

Quand je dis "lui tomber dessus" (ce qui est peut être un peu fort, je reconnais) c'est que tu lui reproche de faire des confusions sur des choses un peu basique alors qu'il remonte un point de confusion plus subtil.

La question n'est pas

"dans quel cas une fonction pourrait être continue sur I sans être continue en tout point de I"

mais

la restriction d'une une fonction à un intervalle I soit continue sans que f sois continue en tout point de I

Et son exemple, que j'ai repris, est parfaitement juste :
la fonction partie entière n'est pas continue en tout point de [0,1[ (elle n'est pas continue en 0)
la restriction de la fonction partie entière à [0,1[ est continue (en particulier en 0)

Donc pour pouvoir répondre correctement à "la fonction f qui a x associe le plus grand entier inférieur à x est-elle continue sur [0,1[" il faut connaître l'ensemble de départ de f.

Et pour la question originelle il sera difficile de trancher : on est tous d'accord sur la formulation rigoureuse (celle que j'ai indiquée "prépa"). Je dis juste qu'au niveau lycée on pourras trouver tout un tas de cas où on se contente de donner une formule et de supposer que l'ensemble de définition est l'ensemble maximal. Dans le même genre dire, dans un texte écrit pour des lycéens, que f est monotone sur I n'implique pas forcément que l'ensemble de définition de f est I.

@ chombier : et encore, en toute rigueur, il faut dire de quelle topologie tu muni Q ou R pour parler de convergence...

[Sylviel]

Mais bon, pour revenir a la question originale, pour moi :
- f est croissante sur I, signifie que I est inclus dans Df
- f est définie sur I et croissante signifie que Df = I
- chercher le maximum de f sur I signifie que I est inclu dans Df, mais n'est pas forcément le maximum (ni local, ni global) de la fonction f
...

Et le seul cas où il y a de vraies subtilités c'est les histoires de continuité.

[hdci]

La question n'est pas
"dans quel cas une fonction pourrait être continue sur I sans être continue en tout point de I"

mais

(Oui, j'ai fait une lecture trop rapide au départ et je suis resté sur ce point de vue à tort - j'avais zappé le mot "restriction" ; toutes mes excuses notamment à chombier)

Mais bon, pour revenir a la question originale, pour moi :
- f est croissante sur I, signifie que I est inclus dans Df
- f est définie sur I et croissante signifie que Df = I
- chercher le maximum de f sur I signifie que I est inclu dans Df, mais n'est pas forcément le maximum (ni local, ni global) de la fonction f

Je suis parfaitement d'accord.

J'ai une question subsidiaire : quand on écrit

Que faut-il comprendre ici : f est une fonction, ou f est une application (donc E est-il un ser-ensemble de l'ensemble de définition ou bien est-ce précisément l'ensemble de définition) ?

Question subsidiaire bis : du temps où j'étais au lycée et en taupe, on disait "domaine de définition" et il semble que maintenant on dise "ensemble de définition". Est-ce un changement d'usage ou y a-t-il une raison ?

[chombier]

Pas de soucis

Pour la question subsidiaire, dans ce cas là il n'y a pas d'ambiguités, E est l'ensemble de départ, c'est aussi l'ensemble de définition, le domaine de définition. F est l'ensemble d'arrivée, x est un élément de E.

C'est vrai qu'on peut dire domaine de définition ou ensemble de définition. J'essaie d'utiliser exclusivement "ensemble de définition", ça rappelle que c'est un ensemble, mais j'utilise parfois domaine de définition (il suffit que j'ai ouvert juste avant un livre qui utilise cette terminologie).

A noter que beaucoup d'élèves notent D_f l'ensemble de définition des fonctions g, h, i... car ils croient que D_f est une abbréviation de Domaine de déFinition.
D'ailleurs je donne toujours D_g comme ensemble de définition de la fonction g pour éviter cet écueil !

Ne le répétez pas à mes inspecteurs, mais j'écrit aussi que et que.