[TS Spe] Nombres premiers

[Anonyme]

Bonjour.

Voilà un DM sur lequel je bloque :

"Soit N un entier naturel dont la décomposition en facteurs premiers est :
a^alpha*b^beta*c^gamma.

1. Démontrer que la somme sigma(N) des diviseurs de N est :

sigma(N) = (1 + a + ... + a^alpha)*(1 + b + ... + b^beta)(1 + c + ... +
c^gamma).

Appliquer ce résultat au nombre 175.

2. Un entier, N, est dit parfait si sigma(N) = 2N.
Montrer que si 2^n - 1 est premier, l'entier :
N = 2^(n-1)*(2^n - 1) est parfait."

Ce que j'ai fait :

1. i) N entier naturel dont la décomposition en facteurs premiers est :

a^alpha*b^beta*c^gamma.

Soit d un diviseur de N.

D'après le cours, d va s'écrire :

a^u*b^v*c^w

u E [| 0 ; alpha |]
v E [| 0 ; beta |]
w E [| 0 ; gamma |]

[E signifie "appartient"]

Par somme :

sigma machin = (1 + a + ... + a^alpha)(1 + b + ... + b^beta)(1 + c + ... +
c^gamma)

ii) Pour 175 :

175 = 5^2*7^1

sigma (175) = (1 + 5 + 5^2)(1 + 7)
= 248

[voilà.. mais ça me parait super léger pour le i), je sais pas comment bien
expliquer ça]

2.

2^n - 1 est premier.
2 est premier.
Donc l'entier N a pour décomposition en facteurs premiers :
N = 2^(n-1)*(2^n - 1)

d, un diviseur de N s'écrit donc :

d = 2^u*(2^n - 1)^v

u E [| 0 ; n-1 |]
v E [| 0 ; 1 |]


sigma(N) = (1 + 2 + ... + 2^(n-1))*(1 + 2^n - 1)
= (1 + 2 + ... + 2^(n-1))*(2^n)

[là je vois pas comment me ramener à 2N..]


Merci bien.

[Anonyme]

In news:Xns9465B94A12016nospamyakfujiwanadoo@213.228.0.133,
Yakumo typed:
> Bonjour.

Bonjour,

[snip]

> sigma(N) = (1 + 2 + ... + 2^(n-1))*(1 + 2^n - 1)
> = (1 + 2 + ... + 2^(n-1))*(2^n)
>
> [là je vois pas comment me ramener à 2N..]

Somme d'une série géométrique !

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

Bonsoir,

Yakumo écrivait :
> D'après le cours, d va s'écrire :
> a^u*b^v*c^w
> u E [| 0 ; alpha |]
> v E [| 0 ; beta |]
> w E [| 0 ; gamma |]

oui.

> Par somme :
> sigma machin = (1 + a + ... + a^alpha)(1 + b + ... + b^beta)(1 +
> c + ... + c^gamma)

Tu dis qu'en développant la formule donnée par l'énoncé on retrouve
tous les facteurs mis en évidence.

2.
> l'entier N a pour décomposition en facteurs premiers :
> N = 2^(n-1)*(2^n - 1)

oui.

> sigma(N) = (1 + 2 + ... + 2^(n-1))*(1 + 2^n - 1)
> = (1 + 2 + ... + 2^(n-1))*(2^n)

oui.

> là je vois pas comment me ramener à 2N..

Quand tu as un résultat essaye de le comparer à celui de l'énoncé, là
tu as 2^n, ce qui se rapproche du 2^(n-1) de l'énoncé, sûrement au
prix d'une simplification.
Il va donc falloir transformer 1 + 2 + ... + 2^(n-1).
Essaye de retrouver une formule pour la somme des termes d'une suite
géométrique.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Impecc' !
Merci beaucoup à Michel et à bc92.