Nombres premiers entre eux et Théorème de Bézout

[Archytas]

Pense au théorème de Bezout !

[leon1789]

Soient a et b deux entiers naturels non nuls tels que a²+ab-b²-1=0.
Démontrer que a et b sont premiers entre eux.

J'ai commencé en faisant :
a²+ab-b²-1=0
a²-b²=1-ab
(a-b)(a+b)=(1-;)(ab))(1+;)(ab))

utiliser des racines carrées non entières n'est pas très conseillé...

Bon, pour démontrer que a et b sont premiers entre eux, considère un diviseur commun à a et b.
Note-le d (d comme diviseur :lol3: )
Alors d divise a²+ab-b², donc d divise 1.

[leon1789]

Pense au théorème de Bezout !

Le (vrai ?) théorème de Bézout, c'est lorsque deux entiers a,b sont premiers entre eux, alors il existe u,v tels que ua+vb=1. Ceci n'est pas banal.

Dans l'exo qui est ici, c'est la réciproque qu'on utilise (quand ua+vb=1, alors a et b sont premiers entre eux) : cette réciproque est, elle, banale.

[Archytas]

Le (vrai ?) théorème de Bézout, c'est lorsque deux entiers a,b sont premiers entre eux, alors il existe u,v tels que ua+vb=1. Ceci n'est pas banal.

Dans l'exo qui est ici, c'est la réciproque qu'on utilise (quand ua+vb=1, alors a et b sont premiers entre eux) : cette réciproque est, elle, banale.

Ouais pour pgcd = 1 c'est vrai dans les deux sens et le théorème s'applique et s'apprend dans les deux sens ici :
a²+ab-b²=a(a+b)+(-b)b=1. d'où l'existence des coefficients de Bezout, d'après l'identité de Bezout ils sont premiers entre eux.

[nodjim]

Si d est diviseur commun de a et b, on réécrit l'équation avec a=da' et b=db':
(da')²+(da')(db')-(db')²=d*k<>1
Et c'est fini.