Voici un énoncé qui m'empêche d'avancer. J'ai fais les deux premières questions mais je n'en suis pas sûr. Il me manque cependant la troisième.
Enoncé :
Soit
1. Démontrer que tout diviseur commun à x et y divise A et B.
=> Je n'ai pas très bien compris car on me demande les diviseurs communs à x et y. Nous avons déjà fait en cours des exercices du même type mais ne faudrait-il pas exprimer plutôt x et y en fonction de A et B pour ensuite démontrer la propriété ?
C'est-à-dire quelque chose ressemblant à : x = ...A + ...B et y = ...A + ...B ?
2. Exprimer x et y en fonction de A et B. Démontrer que tout diviseur commun à A et B divise x et y.
=> Pour exprimer x et y en fonction de A et B, je suis passé par un système. Je trouve finalement
Tout diviseur commun à x et y divise toute combinaiseon linéaire de x et y.
En particulier, ce nombre divise :
Etrangment j'ai réussi à démontrer que tout diviseur commun à x et y divisait A et B alors qu'on me le demandait à la première question...
Donc ma réponse correspondrait à la première question ?
Si tel est le cas, pour répondre à la deuxième question, il faudrait se servir de ce que propose l'énoncé, c'est-à-dire des données initiales :
Ainsi la réponse à la deuxième question serait donc :
=> Tout diviseur de A et B divise toute combinaison linéaire de A et B.
En particulier, ce nombre divise :
Donc voilà, pour les deux premières questions, il y a une ambiguïté que je n'arrive pas à comprendre.
Pour la troisième et dernière question, je n'ai pas réussi.
La voici :
3. Application : démontrer que
Voilà. Si vous pouvez m'expliquer comment démarrer la dernière question (par récurrence peut-être ?), ce serait très gentil et me dire aussi comment nous démontrons les deux premières questions car tout compte fait, je ne suis pas sûr de moi...
Un grand merci d'avance.
Bonne journée à tous.
bunny.
