Nombres premiers entre eux ou erreur du livre

[rdt]

Bonsoir,

Je trouve fausses les trois conséquences proposées ci-dessous, et extraites d’un QCM de mon livre de maths "enseignement de spécialité".

Si (x, y) est solution de l’équation 3x -5y = 2, alors :

a : x est de la forme 4 +3k, k entier relatif;
b : x est de la forme 4 +5k, k entier relatif;
c : x est congru à 0 modulo 5.

Le corrigé affirme c.
Pour moi, si (x, y) est solution de l’équation 3x -5y = 2, (-1, -1) étant une solution, on dispose donc du système :
3x -5y = 2
-3 +5 = 2.
Après soustraction membre à membre on obtient :
3(x +1) +5(-y -1) = 0
qui est équivalent à :
3(x +1) = 5(y +1). (i)
On a PGCD (3, 5) = 1, donc 3 et 5 sont premiers entre eux.
Par conséquent 5 divise x +1, d’après le théorème de Gauss.
On trouve donc :
x = 5k -1
et en remplacant x par 5k -1 dans (i), y = 3k -1.
en substituant ces deux expressions dans 3x -5y = 2, on trouve :
3(5k -1) -5(3k -1) = 15k -3 -15k +5 = 2.

J’en déduirais que le livre comporte au moins une erreur, mais comme la divisibilité et moi, on vient à peine de faire connaissance…

Seriez-vous d’accord avec le livre ?

[nodgim]

3 x - 5 y = 2

Une solution triviale : ( x , y ) = (- 1 , - 1 )

Toutes les solutions : x = -1 + 5 k et y = -1 + 3 k pour tout k entier relatif.

Puisque 3 (- 1 + 5 k ) - 5 ( -1 + 3 k ) = -3 + 15 k + 5 - 15 k = 2

C'est donc la solution 2 qui est correcte puisque -1 + 5 k = 4 + 5( k-1)

[Ben314]

Salut,
Le bouquin se trompe en disant que c) est vrai.
Mais d'un autre coté, toi aussi tu te trompe (mais beaucoup moins) en disant que les 3 sont faux :
Ta preuve est parfaitement correcte et montre que les (pluriel) qui sont solutions sont ceux pouvant s'écrire où est un entier relatif, c'est à dire .
Sauf que si tu écrit de la même façon avec des { . . . } l'ensemble des entiers qui peuvent s'écrire où est un entier relatif, ça donne quoi ?

[rdt]

Merci à nodgim et Ben314.

Je tire la proto-leçon suivante :
quand une solution est un ensemble E :
défini par une équation à n variables (Xi),
stable pour une loi de composition T,
toute substitution de xTy à l’une au moins des variables Xi, avec y élément de E non neutre pour T, fourni une autre expression de E…

Quelle odeur d’ingrédient de codage et quelle richesse des Mathématiques !

[LB2]

Je pense que tu évoques la présentation d'un groupe par ses générateurs et relations, est-ce bien cela?

[rdt]

Aucune idée, désolé LB2 !
Je n’ai pas encore eu l’occasion d’étudier d’Algèbre, la curiosité m’a simplement poussée à en lire quelques définitions.
Ce n’est pas désagréable quand on est débutant et se heurte à quelques difficultés, de savoir qu’on frôle éventuellement une notion plus avancée.
Merci à toi