Nombres premiers entre eux : Spécialité Maths TS

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Starwelle
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Nombres premiers entre eux : Spécialité Maths TS

par Starwelle » 28 Sep 2008, 19:14

Bonjour et merci d'avance pour votre aide.

Voila un des exercices que je dois faire et sur lequel je rencontre un gros problème :

1. m et n sont deux entiers tels qu'il existe a et b, entiers relatifs, tels que ma + nb =1.
Démontrer que m et n sont premiers entre eux.

2. Soit m et n deux entiers relatifs tels que :
8^m = 2 x 16^n
Démontrer que m et n sont premiers entre eux.


Voila pour le moment ce que j'ai réussi à faire :

1. Je pense qu'il faut introduire "d" en disant qu'il divise m et n mais je ne vois pas comment poursuivre une démonstration.

2. On peut écrire cette égalité : 2^3m = 2^1+4n
Mais à nouveau je ne vois pas comment conclure.

Merci beaucoup si quelqu'un peut réussir à m'aiguiller.



Starwelle
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par Starwelle » 28 Sep 2008, 19:20

Merci ,donc cela me donne :

Soit m = dm' et n = dn'
ma + nb = 1
<=> adm' + bdn' = 1
<=> d (am' + bn') = 1
<=> d (m + n) = 1

Mais cela ne montre pas qu'ils sont premiers ?

Starwelle
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par Starwelle » 28 Sep 2008, 19:30

Oui, en effet, ma dernière ligne est fausse, merci.

Je ne comprends pas trop ce qu'on peut conclure sur d, on peut dire qu'il est égal à 1 ?

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leon1789
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par leon1789 » 28 Sep 2008, 19:38

Un entier qui divise 1 est égal à 1 ou -1, oui !

Starwelle
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par Starwelle » 28 Sep 2008, 19:41

Merci, et donc comme 2 entiers sont premiers entre eux ssi leurs diviseurs sont 1 et -1, je peux conclure que m et n sont premiers entre eux ?

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leon1789
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par leon1789 » 28 Sep 2008, 19:54

Starwelle a écrit:Merci, et donc comme 2 entiers sont premiers entre eux ssi leurs diviseurs communs sont 1 et -1, je peux conclure que m et n sont premiers entre eux ?

exactement :id:

Starwelle
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par Starwelle » 28 Sep 2008, 19:58

Merci de m'avoir aidé pour cette question.
Il y a juste une phrase que je ne comprends pas trop dans les explications qui m'ont été donné :
"Le produit de 2 nombres entiers vaut 1"

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leon1789
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par leon1789 » 28 Sep 2008, 20:13

Tu ne te souviens/comprends pas de ce que tu as écrit là ???

Starwelle a écrit:Soit m = dm' et n = dn'
ma + nb = 1
adm' + bdn' = 1
d (am' + bn') = 1

Starwelle
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par Starwelle » 28 Sep 2008, 20:16

Ah d'accord, c'est juste valable pour cette égalité.
Oui, d'accord c'est bon j'ai compris toute la question 1 ce coup-ci.
Merci bcp pour votre aide.

Quant à la question 2, est-ce que la manière dont j'ai écrit l'égalité peut m'être utile ou non ?
Si oui comment ?

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leon1789
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par leon1789 » 28 Sep 2008, 20:43

Starwelle a écrit:2. On peut écrire cette égalité : 2^3m = 2^1+4n

ok.
Tu sais que 2^a = 2^b a=b
Cela te donne quoi ?

Starwelle
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par Starwelle » 28 Sep 2008, 20:46

Merci j'ai trouvé la solution. Au final j'ai 3m - 4n = 1 donc m et n sont premiers entre eux.

Je vous remercie pour votre aide qui m'a permis de finir enfin cet exercice.

 

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