[TS] nombres premiers entre eux

[Anonyme]

Bonjour à tous, j'ai un petit soucis avec un exo d'arithmétique.

On considére les suites (xn) et (yn) définies par x(0)=1, y(0)=8 et :

x(n+1) = 7/3 x(n) + 1/3 y(n) + 1
y(n+1) = 20/3 x(n) + 8/3 y(n) + 5

Au cours de l'exercice j'ai déjà montré les choses suivantes :

* 5x(n) - y(n) + 3 =0
* x(n+1) = 4x(n) + 2
* x(n) et y(n) sont toujours des entiers naturels
* x(n) est divisible par 3 ssi y(n) est divisible par 3

Je dois démontrer que si (xn) et (yn) ne sont pas divisibles par 3, alors
ils sont premiers entre eux.
Je bloque là dessus, je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance pour votre aide.

RG

[Anonyme]

"RG" a écrit dans le message de
news:41b32d30$0$4154$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour à tous, j'ai un petit soucis avec un exo d'arithmétique.
>
> On considére les suites (xn) et (yn) définies par x(0)=1, y(0)=8 et :
>
> Merci d'avance pour votre aide.
>
> RG

Tu as 5x(n) - y(n) + 3 =0 donc si d divise x(n) et y (n) il divise 3 donc
c'est 1 ou 3 et si ce n'est pas 3....
Voilà

[Anonyme]

> Au cours de l'exercice j'ai déjà montré les choses suivantes :
>
> * 5x(n) - y(n) + 3 =0
> * x(n+1) = 4x(n) + 2
> * x(n) et y(n) sont toujours des entiers naturels
> * x(n) est divisible par 3 ssi y(n) est divisible par 3
>
> Je dois démontrer que si (xn) et (yn) ne sont pas divisibles par 3, alors
> ils sont premiers entre eux.
> Je bloque là dessus, je ne vois pas comment faire.
>

Tu supposes p premier divisant x_n et y_n.
Tu utilises 5x_n - y_n + 3 =0

et tu conclus que p doit ...

Et donc ... .

[Anonyme]

RG a écrit:
> Bonjour à tous, j'ai un petit soucis avec un exo d'arithmétique.
>
> On considére les suites (xn) et (yn) définies par x(0)=1, y(0)=8 et :
>
> x(n+1) = 7/3 x(n) + 1/3 y(n) + 1
> y(n+1) = 20/3 x(n) + 8/3 y(n) + 5
>
> Au cours de l'exercice j'ai déjà montré les choses suivantes :
>
> * 5x(n) - y(n) + 3 =0
> * x(n+1) = 4x(n) + 2
> * x(n) et y(n) sont toujours des entiers naturels
> * x(n) est divisible par 3 ssi y(n) est divisible par 3
>
> Je dois démontrer que si (xn) et (yn) ne sont pas divisibles par 3, alors
> ils sont premiers entre eux.
> Je bloque là dessus, je ne vois pas comment faire.

On veut montrer que xn et yn sont soit divisibles par 3 soit premiers
entre eux, ie que si p est un nombre premier divisant xn et yn, p = 1 ou
p = 3. Reprends alors ta première relation : 5xn - yn - 3 = 0 ... p
divise xn et yn donc ...

--
albert

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41B32EA4.1090302@hotmail.com...
> RG a écrit:[color=green]
>> Bonjour à tous, j'ai un petit soucis avec un exo d'arithmétique.
>>
>> On considére les suites (xn) et (yn) définies par x(0)=1, y(0)=8 et :
>>
>> x(n+1) = 7/3 x(n) + 1/3 y(n) + 1
>> y(n+1) = 20/3 x(n) + 8/3 y(n) + 5
>>
>> Au cours de l'exercice j'ai déjà montré les choses suivantes :
>>
>> * 5x(n) - y(n) + 3 =0
>> * x(n+1) = 4x(n) + 2
>> * x(n) et y(n) sont toujours des entiers naturels
>> * x(n) est divisible par 3 ssi y(n) est divisible par 3
>>
>> Je dois démontrer que si (xn) et (yn) ne sont pas divisibles par 3, alors
>> ils sont premiers entre eux.
>> Je bloque là dessus, je ne vois pas comment faire.
>
> On veut montrer que xn et yn sont soit divisibles par 3 soit premiers
> entre eux, ie que si p est un nombre premier divisant xn et yn, p = 1 ou p
> = 3. Reprends alors ta première relation : 5xn - yn - 3 = 0 ... p divise
> xn et yn donc ...
>
> --
> albert
>[/color]

Merci à tous pour vos réponses.

RG