Nombres complexes

[Tir McDohl]

Bonsoir, j'ai deux exos qui me posent problèmes et sur lesquels j'aimerais pourtant aller plus loin:

Ex1: Résoudre dans C l’équation suivante



Montrer que les solutions de cette équation se trouvent sur un cercle à préciser.


Ex2: Considérons l’équation suivante

(1) Montrer que l’équation admet pour racines z1 = 1 + i et z2 =
(2) En déduire les autres solutions de l’équation, ainsi qu’une factorisation de sur C, puis sur R.

Pour l'exo1 j'hésite à tout développer comme un bœuf et mettre du même coté, c'est la bonne voie?
J'arrive un peu mieux l'exo2 sans être trop sûr de moi sur la seconde question. Pour la première le principe est simple même si ça devient extrêmement lourd pour z2 (en fait je dois recommencer la moitié pour lui j'ai oublié quelques i): il suffit de calculer pour les racines données. Dans la question 2, ,j'imagine qu'il faut faire une factorisation du type (z-z1) (z-z2) (az^2+ bz + c), ensuite développer pour identifier a, b et c et trouver les racines. J'ai bon? ce qui m'embête c'est qu'ils disent "puis dans R", ils veulent dire quoi par factorisation dans R? même si les deux autres racines étaient réelles ça empêche pas z1 et z2 non? du coup ça se transforme forcément en factorisation sur C. Ou alors ayant ces deux racines (peut-être) réelles faudrait refactoriser dans l'autre sens?

Donc voilà, en espérant que quelqu'un pourra me répondre pour l'ex2 et surtout m'aiguiller sur l'ex1.
Merci d'avance de votre aide.

[Carpate]

Bonsoir, j'ai deux exos qui me posent problèmes et sur lesquels j'aimerais pourtant aller plus loin:

Ex1: Résoudre dans C l’équation suivante



Montrer que les solutions de cette équation se trouvent sur un cercle à préciser.


Ex2: Considérons l’équation suivante

(1) Montrer que l’équation admet pour racines z1 = 1 + i et z2 =
(2) En déduire les autres solutions de l’équation, ainsi qu’une factorisation de sur C, puis sur R.

Pour l'exo1 j'hésite à tout développer comme un bœuf et mettre du même coté, c'est la bonne voie?
J'arrive un peu mieux l'exo2 sans être trop sûr de moi sur la seconde question. Pour la première le principe est simple même si ça devient extrêmement lourd pour z2 (en fait je dois recommencer la moitié pour lui j'ai oublié quelques i): il suffit de calculer pour les racines données. Dans la question 2, ,j'imagine qu'il faut faire une factorisation du type (z-z1) (z-z2) (az^2+ bz + c), ensuite développer pour identifier a, b et c et trouver les racines. J'ai bon? ce qui m'embête c'est qu'ils disent "puis dans R", ils veulent dire quoi par factorisation dans R? même si les deux autres racines étaient réelles ça empêche pas z1 et z2 non? du coup ça se transforme forcément en factorisation sur C. Ou alors ayant ces deux racines (peut-être) réelles faudrait refactoriser dans l'autre sens?

Donc voilà, en espérant que quelqu'un pourra me répondre pour l'ex2 et surtout m'aiguiller sur l'ex1.
Merci d'avance de votre aide.

1) Surtout ne pas développer mais poser puis résoudre dont les racines sont 4 valeurs (trés simples) puis résoudre

2)
Détermine b et c par identification

[Tir McDohl]

Erreur d'énoncé au passage, c'est z^4 - z^3 + z^2 + 2 =0
j'avais mis +z^3



Bon donc pour le 2 de l'ex2 c'est tellement lourd comme calcul (si on considère que c'est la moitié de la question) que je préfère poster une photo de ma copie ça sera plus représentatif



Dites-moi que j'ai fait une erreur de calcul car si c'est les bons coeffs ça va encore faire du truc lourd pour la suite. Je m'y met de suite.


EDIT: pour les u racines de U^4=1 je trouve 1, -1 et i (on les marque juste sans justifier?), je vois pas la quatrième :/.

[Carpate]

Sauf erreur de ma part :




Ensuite on pourrait calculer b par :

etc ...


Pour le 1), variante :

[Tir McDohl]

Sauf erreur de ma part :

Je m'impressionne mais j'ai oublié le i de , comme ça c'est simple tout est faux.
Niveau raisonnement c'est sûr que votre méthode est bien plus efficace mais je pense pas que j'en serais capable donc faut probablement que j'en reste au dev + identification, mais sans erreurs bêtes. Surtout pour P(i) je vois même comment on peut deviner faire ce genre de choses (P(0) ça va, j'y repenserai).

Bon, admettons que j'ai pas fait cette erreur de i, le raisonnement était-il valable (bien que long)?

en repensant à cette histoire de factorisation dans R quand on a les coeff de az^2+bz+c, je peux déjà en déduire que les racines z3 et z4 seront réelles non?
Je vois pas autre chose pour expliquer leur demande, que le fait que la factorisation (z-z3)(z-z4)(uz^2+vz+w)=0 soit équation avec deux solutions réelles (on remplace les z par x au pire).
J'ai bon?


Sinon en attendant votre (ou une) correction j'ai plutôt fait l'ex1, j'ai bien fait on dirait.
J'ai trouvé u3=-i effectivement, puis j'ai donc trouvé quatre z correspondant aux quatres u: -2, 0 , et .
Il était finalement beaucoup plus simple que le second ex contrairement à mes premières impressions, merci beaucoup de votre aide!

edit: mince tjrs pas trouvé le rapport avec le cercle du coup, en plus ils ont pas tous le même module

[Carpate]

2) C'est très simple et je m'étais lancé dans les calculs sans réfléchir !





Le polynôme P(z) est à coefficients réels donc : car un réel est égal à son conjugué.
Idem pour
Donc sont les 4 racines complexes de P



: factorisation en réels

[Tir McDohl]

Je vois, on a donc cette méthode qui est j'imagine celle voulue, en exam on aurait pas trop le choix vu la rapidité de celle-ci.

Comment savoir qu'il faut essayer de calculer le conjugué? (y a bien un indice pour y penser?)
maintenant que j'y pense, en nbs complexes une grande partie des polynômes que j'ai vu avaient pour racines un complexe et son conjugué, c'était un hasard ou c'est une sorte de règle récurrente? (qui expliquerait tout)

Ensuite pour la factorisation j'ai un peu de mal à visualiser, c'est le développement qui retire la partie imaginaire de ce que je comprend, mais quand vous mettez 2Re(z1) (ou 2Re(z2)), vous avez juste oublié le "fois z" ou y a une raison spécifique que je comprend pas?

Désolé pour les questions...

[capitaine nuggets]

Je vois, on a donc cette méthode qui est j'imagine celle voulue, en exam on aurait pas trop le choix vu la rapidité de celle-ci.

Comment savoir qu'il faut essayer de calculer le conjugué? (y a bien un indice pour y penser?)
maintenant que j'y pense, en nbs complexes une grande partie des polynômes que j'ai vu avaient pour racines un complexe et son conjugué, c'était un hasard ou c'est une sorte de règle récurrente? (qui expliquerait tout)

Tu peux montrer la propriété suivante :
Si est solution d'une équation polynômiale, alors sont conjugué l'est aussi.

Ensuite pour la factorisation j'ai un peu de mal à visualiser, c'est le développement qui retire la partie imaginaire de ce que je comprend, mais quand vous mettez 2Re(z1) (ou 2Re(z2)), vous avez juste oublié le "fois z" ou y a une raison spécifique que je comprend pas?

Désolé pour les questions...

Certains polynômes se factorisent avec des coefficients dans C et d'autres dans R.
Ce qu'il faut faire de manière générale, c'est décomposer dans C puis dans R.
D'après la propriété donnée précédemment, si a est racine d'un polynôme alors aussi donc pour obtenir une factorisation dans R, on développe tous les produits de la forme . Cela donne qui est un polynôme à coefficient réels :+++:

[Ben314]

Si est solution d'une équation polynômiale, alors sont conjugué l'est aussi.

Attention quand même à bien préciser "une équation polynomiale à coefficients réels" (au lycée, je pense que c'est le seul cas étudié, mais si plus tard ils voient des équations à coeff. complexes... )

[capitaine nuggets]

Attention quand même à bien préciser "une équation polynomiale à coefficients réels" (au lycée, je pense que c'est le seul cas étudié, mais si plus tard ils voient des équations à coeff. complexes... )

Ouais oh :ptdr: , je pensais que c'était implicite :we:

[Carpate]

Je vois, on a donc cette méthode qui est j'imagine celle voulue, en exam on aurait pas trop le choix vu la rapidité de celle-ci.

Comment savoir qu'il faut essayer de calculer le conjugué? (y a bien un indice pour y penser?)
maintenant que j'y pense, en nbs complexes une grande partie des polynômes que j'ai vu avaient pour racines un complexe et son conjugué, c'était un hasard ou c'est une sorte de règle récurrente? (qui expliquerait tout)

Ensuite pour la factorisation j'ai un peu de mal à visualiser, c'est le développement qui retire la partie imaginaire de ce que je comprend, mais quand vous mettez 2Re(z1) (ou 2Re(z2)), vous avez juste oublié le "fois z" ou y a une raison spécifique que je comprend pas?

Désolé pour les questions...

Oui, faute de frappe
Fais attention au fait que " entraîne " n'est pas valable pour un polynôme à coefficients complexes

[Carpate]

Ouais oh :ptdr: , je pensais que c'était implicite :we:

On s'est croisé avec Ben314 ...

[Tir McDohl]

Wow plein de trucs s'éclairent là, merci beaucoup à tous, les choses ne sont parfois pas si compliquées ça fait plaisir. Heureusement que vous précisez pour les équations à coeffs complexes d'ailleurs.

. Cela donne qui est un polynôme à coefficient réels

Content de revoir ce développement qui me paraissait assez rapide. En fait j'imagine que c'est juste un mécanisme courant à reconnaître.
En plus on voit vite dans un énoncé si c'est à ça qu'on veut nous faire venir ça risque d'être utile si je retombe dessus.

[Ben314]

En fait, ce que tu as écrit là, ça démontre plutôt la réciproque de ce que capitaine nuggets disait, c'est à dire que ça montre :
Si on peut regrouper toutes les racines complexes d'un polynôme par "couples" de complexes conjugués alors le polynôme est à coefficients réels.

Alors que ce que disait capitaine nuggets, c'est :
Si un polynôme est à coefficient réel et que z est une racine de ce polynôme alors le conjugué de z est aussi une racine du polynôme.

[capitaine nuggets]

En fait j'imagine que c'est juste un mécanisme courant à reconnaître.
En plus on voit vite dans un énoncé si c'est à ça qu'on veut nous faire venir ça risque d'être utile si je retombe dessus.

Je dirais que ça peut éventuellement servir mais je ne m'en suis quasiment jamais servi en TS
Sinon, ça peut servir pour résoudre une équation assez classique :

Résoudre dans l'équation d'inconnue et de paramètre suivante : .

[Ben314]

Je pense que c'est très nettement hors programme en terminale, mais ça sert aussi lorsque l'on arrive facilement à factoriser un polynôme dans C (alors qu'on ne voit pas trop quoi faire en restant dans R) et qu'une fois la factorisation dans C trouvée on veut en déduire la factorisation dans R.
Par exemple pour factoriser , ç'est plus naturel de commencer par le factoriser dans C (on peut aussi le factoriser directement dans R, mais ça demande des "astuces" alors que si on passe par les complexes, ça "coule de source")

[Black Jack]

(1) Montrer que l’équation admet pour racines z1 = 1 + i ... et factoriser.

Jadis, on aurait fait soit une simple division euclidienne soit ceci :

z^4 - z³ + z² + 2 = 0
z^4 - z³ - iz³ + iz³ - iz² + iz² + z² + 2 = 0
z³(z - 1 - i) + iz²(z - 1 -i) + iz² + 2 = 0
z³(z - 1 - i) + iz²(z - 1 -i) + iz² - iz + z + iz - z + 2 = 0
z³(z - 1 - i) + iz²(z - 1 -i) + iz(z - 1 -i) + iz - z + 2 = 0
z³(z - 1 - i) + iz²(z - 1 -i) + iz(z - 1 -i) + (i-1)(z-1-i) = 0
(z - 1 - i).(z³ + iz² + iz + i - 1) = 0

On propose aussi de voir si que e^(i.2Pi/3) = -1/2 + i.(V3)/2 est solution et de factoriser si c'est oui :

z³ + iz² + iz + i - 1 = 0

Qu'on peut faire comme ci dessus ou bien par une division euclidienne.



On a donc :

z^4 - z³ + z² + 2 = (z - 1 - i) * (z + 1/2 - i.(V3)/2) * (z² + z.(-1/2 + i(2+V3)/2) - (1+V3)/2 + i.(1-V3)/2)

Il faut poursuivre encore pour l'équation du second degré : (z² + z.(-1/2 + i(2+V3)/2) - (1+V3)/2 + i.(1-V3)/2) = 0

...

Beaucoup de chemins mênent à Rome.

:zen: