Nombre complexe

[momoshiro]

Bonjour à tous

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O;vectU , vectV) direct. Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe -i.

Soit f la fonction définie sur C\{i} par f(z)=(1-iz) / (z-i)


1) Vérifier que pour tout z de C\{i}, f(z)=-i + 2/(z-i)

2)a- Démontrer que -i n'a pas d'antécédent par f
b-Déterminer les antécédents de 0 et de i par f

3)A tout point M différent de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que z' = f(z)

a-Démontrer que pour tout point M différent de A, le produit des longueurs AM et BM' est égal à 2.

b-Démontrer que lorsque M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4 M' se déplace sur un cercle C' dont on précisera le centre et le rayon

4)a-Déterminer l'ensemble C des points M(z) tels que z'-i soit un nombre réel non nul

b-Démontrer que lorsque M d'écrit C, M' se déplace sur une droite que l'on précisera.

c-Lorsque M décrit C, M' décrit-il toute la droite

5)Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur non nul.




Réponses:

1) f(z)= -i + 2/(z-i)
f(z)= -i(z-i) +2/(z-i)
f(z)= (1-iz) / (z-i)

2)a) S'il existe une solution à f(z) = -i, alors cette solution satisfait à :
-i + 2/(z-i) = -i
2/(z-i) = 0
Or il n'existe aucune valeur de z telle que 1/(z-i) = 0
Donc -i n'a pas d'antécédent.

b) f(z)=0
z = -i = 1/i

f(z)=i
z=0


Mais pour la suite je ne trouve pas pouvez vous m'aidez svp ? merci

[Sa Majesté]

Comment peux-tu écrire les distances AM et BM' avec les complexes ?

[momoshiro]

hm avec a²+b²=valeur absolue de z²

[Sa Majesté]

Tu veux dire le module
Alors go !

[momoshiro]

oh je trouve donc AM*BM'= (z-i) * 2/(z-i) = 2 :)
avec AM = z-i
et BM' = f(z) - (-i)

[Sa Majesté]

Oui tout simplement ( :!: avec des modules AM*BM'= |z-i| * 2/|z-i| = 2)

[momoshiro]

oui :)
euh pouvez vous m'aider pour la suite svp ?

[Sa Majesté]

Le b) n'est pas trop dur ...

[momoshiro]

hm je trouve que puisque AM = 4
ALors on a 4BM'=2 donc BM'=1/2
le rayon est donc de 1/2

[Sa Majesté]

Oui tout simplement (il te reste à préciser le centre de C')

[momoshiro]

et de centre B :)
mais la question suivante je ne comprend vraiment pas :/

[Sa Majesté]

Ben tu calcules z'-i
Qu'est-ce qui caractérise le fait qu'un nb complexe est un réel ?

[momoshiro]

il faut que Im(z) = 0
mais je je trouve un résultat étrange :/ z'-i = 2a/a²+1

[momoshiro]

euh je trouve plutot 2/a

[Sa Majesté]

Moi aussi ça me semble étrange ! :hum:

[momoshiro]

le 2/a est aussi étrange?