On note j le nombre complexe e^i(2pi/3).
A. Montrer que :
a) j^3=1
b) 1+j+j²=0
c) e^i(pi/3)= -j²
B.on considere les pts A, B, C d'affixes respectives a=8, b=6j et c=8j²
Soit A' l'image de B par la rotation de centre C et d'angle pi/3
Soit B' l'image de C par la rotation de centre A et d'angle pi/3
Soit C' l'image de a par la rotation de centre B et d'angle pi/3
1- On appelle a', b' et c' les affixes de A' B' et C'
a) calculer a' (verifier que c'est un reel)
b) montrer que b'=16e^-i(pi/3) et en deduire que O est un point de la droite (BB').
c) On admet que c'=7+(7racine de 3)i. Donner la forme expo de c'. Montrer que les droites (AA') (BB') et (CC') sont concourente en O.
2-On se propose desormais de montrer que la distance MA+MB+MC est minimale lorsque M=O
a) Calculer la distance OA+OB+OC
b) On considere un point M quelconque d'affixe z du plan complexe. On rapelle que a=8, b=6j et c=8j². Deduire des questions precedentes les egalités suivantes: |(a-z)+(b-z)j²+(c-z)j| = |a+bj²+cj|=22
c) on admet que, tels que soient les nbres complexes z, z' et z'': |z+z'+z''| est inferieur à |z|+|z'|+|z''|. Montrer que MA+MB+MC est minimale lorsque M=O (utiliser |j|=|j²|=1)
*Alors pour la question A.a) j'ai reussi :we:
*pour la A.b) j'arrive à 1+j+j²= 1 + e^i(2pi/3)+ e^-i(2pi/3) mais je sais pas comment on fait pour arriver a zéro.
*pour la A.c) je trouve -j²= -e^-i(2pi/3) et je sais pas comment on fait pour passer à e^i(pi/3).
*pour la B.a) je trouve a'= 6e^i(pi) + 8e^i(2pi/3) - 8e^i(pi/3) mais j'arrive pas a terminer le calcul.
*pour la B.b) je trouve b'= -8 [e^i(2pi/3) + e^i(pi/3) - e^i (pi) ] et pareil je n'arrive pas à finir le calcul
* enfin pour la B.c) je trouve c'= 14 e^i(pi/3) et j'ai pas compris la 2eme partie de la question. :marteau:
Et pour ce qui est de la suite je ne m'y suis toujours pas attaquée :mur:
:help: :help: :help: :help: :help: SVP Merci d'avance
et montrer qu'elle est nulle. ça n'est pas très compliqué ("développe" avec les cos et sin)