Nombre complexe

[feliraf]

Bonjour , j'ai un exercice sur les nombre complexe qui est en plusieurs étape et je bloque sur une question , là voici :

P(z) = z puissance4 -(1racine2)z puissance3 + (2+ racine 2) z² - (1racine2 )z +1

résoudre l'équation : P(z) / z² = (z+(1/z))² -(1+racine2)(z + (1/z) ) +racine 2

Merci de votre aide

[annick]

Bonjour,
tu poses Z=(z+(1/z))
Tu obtiens une équation du second degré.

[feliraf]

Je comprend pas , je suis désolé j'étais malade pendant plus d'une semaine et j'ai du mal

[feliraf]

j'ai mis le calcule

[annick]

Bon, je crois que je ne répondais pas à la bonne question.
Mais d'autre part, je ne comprends pas bien ce que tu veux démontrer et je crois que tu as oublié des signes dans ton énoncé.
Et c'est où quand tu dis que tu as mis le calcul ?

[feliraf]

Voilà l'exercice en entier :
P(z) = z puissance4 -(1racine2)z puissance3 + (2+ racine 2) z² - (1racine2 )z +1

1) résoudre l'équation dans C ; P(z) = z²-(1+ racine 2 )z + racine 2 =0

j'ai fais le discriminant et j'ai trouvé 3 -2racine 2 ; après j'ai trouvé que x1 = racine 2 et x2= 1


2)résoudre dans C ; 1) z + 1/z =1

et 2) z+1/z = racine 2

alors j'ai tout multiplié par z , j'ai fais le discriminant et j'ai trouvé -3 donc pas de solution dans R et j'ai calculé x1 = -b-iracine -delta/ 2a = 1/2-racine 3 i / 2

et x2 = -b+ iracine -delta/ 2a = 1/2+racine 3 i / 2
après pour 2) j'ai fais la même méthode le discriminant = -2 et j'ai trouvé x1 = racine 2/2 - racine 2 i /2 et pour x2 = racine 2/2 + racine 2 i /2

3) prouvé que P(z) / z² = (z+(1/z))² -(1+racine2)(z +( 1/z) ) +racine 2

Dsl je voulais mettre mon calcule mais il est faut , je voulais développé

[annick]

Tu as :

P(z) = z^4 -(1+racine2)z ^3 + (2+ racine 2) z² - (1+racine2 )z +1

Donc P(z)/z²=z²-(1+racine2)z +(2+ racine 2)-(1+racine2)/z+1/z²

de même :

(z+(1/z))² -(1+racine2)(z +( 1/z) ) +racine 2=z²+1/z²+2-z-racine2z-1/z-racine2/z+racine2=
z²-(1+racine2)z-(1+racine2)/z+1/z²+(2+racine2)

Donc P(z)/z²=(z+(1/z))² -(1+racine2)(z +( 1/z) ) +racine 2


Et, au fait, pour tout le reste, j'étais d'accord avec toi.

[feliraf]

justement j'arrive pas a faire le calcule , merci :)

[annick]

Tu as :

P(z) = z^4 -(1+racine2)z ^3 + (2+ racine 2) z² - (1+racine2 )z +1

Donc P(z)/z²=z²-(1+racine2)z +(2+ racine 2)-(1+racine2)/z+1/z²

de même :

(z+(1/z))² -(1+racine2)(z +( 1/z) ) +racine 2=z²+1/z²+2-z-racine2z-1/z-racine2/z+racine2=
z²-(1+racine2)z-(1+racine2)/z+1/z²+(2+racine2)

Donc P(z)/z²=(z+(1/z))² -(1+racine2)(z +( 1/z) ) +racine 2


Et, au fait, pour tout le reste, j'étais d'accord avec toi.

Je ne comprends pas, je viens de te le faire le calcul : d'une part je calcule P(z)/z² à partir de mon expression de départ. D'autre part je développe (z+(1/z))² -(1+racine2)(z +( 1/z) ) +racine 2.
Et je m'aperçois que ça donne le même résultat donc je peux dire que les deux sont égaux.

Je ne vois pas ce que l'on pourrait te montrer de plus.

[feliraf]

il y a un truc que je vois pas c'est que vous avez , dévellopé p(z) / z² pour voir si c'est comme z²-(1+racine2)z +(2+ racine 2)-(1+racine2)/z+1/z²

[annick]

il y a un truc que je vois pas c'est que vous avez , dévellopé p(z) / z² pour voir si c'est comme z²-(1+racine2)z +(2+ racine 2)-(1+racine2)/z+1/z²

Oui, j'ai calculé d'une part P(z)/z² et j'ai calculé d'autre part (z+(1/z))² -(1+racine2)(z +( 1/z) ) +racine 2.
J'ai constaté que je suis arrivée au même résultat, donc ces deux expressions sont égales.

[feliraf]

Vous pouvez pas détaillé les calcules moi je trouve pas pareil , j'aimerais voir mon erreur

[annick]

Vous pouvez pas détaillé les calcules moi je trouve pas pareil , j'aimerais voir mon erreur

met moi les tiens et je tâcherai de voir ce qui est faux.

[feliraf]

J'ai fais (z+(1/z))² -(1+racine2)(z +( 1/z) ) +racine 2 = z²+2+1/z²-(1+racine2)(z+1/z)+(racine2)
après P(z) = z²-(1+racine2)z +(2+ racine 2)-(1+racine2)1/z+1/z²= z²+2+1/z²-(1+racine2)z-(1+racine2)1/z

sauf que je sais pas si je peux factoriser -(1+racine2)z-(1+racine2)1/z

[feliraf]

j'ai presque comme vous

[feliraf]

après je droit en déduire le résolution de l'équation P(z) =0

[annick]

Tu as maintenant :

P(z) / z² = (z+(1/z))² -(1+racine2)(z + (1/z) ) +racine 2 donc

P(z)=z²[(z+(1/z))² -(1+racine2)(z + (1/z) ) +racine 2] à condition que z²différent de 0 sinon P(z)/z² n'est pas défini.

P(z)=0 revient donc à
(z+(1/z))² -(1+racine2)(z + (1/z) ) +racine 2=0

Si on pose Z=z+1/z, qu'est-ce que devient l'expression précédente ?

[feliraf]

Si on pose Z=z+1/z, on a ;
(z+(1/z))² -(1+racine2)(Z) +racine 2=0

[annick]

Si on pose Z=z+1/z, on a ;
(z+(1/z))² -(1+racine2)(Z) +racine 2=0

Z²-(1+V2)Z+V2=0

Equation du second degré à résoudre normalement.

[feliraf]

donc x1 = 1 et x2= racine 2