Nombre complexe

[Mamate7]

Bonjour à tous,

voila j'ai rencontré quelques difficultés dans cet exercice! Je n'arrive pas la question 2.b) Comment est ce que je dois m'y prendre?
Merci d'avance!

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , ) ; (unité 2 cm).

On dit qu'un triangle équilatéral ABC est direct si, et seulement si (vecteur AB ; vecteur AC ) = /3 (2).

On pose j = e2i /3.

Questions :

1.a) Vérifier que 1, j et j² sont solutions de l'équation z3= 1.
b) Calculer (1-j)(1+j+j²); en déduire que 1+j+j²=0.
c) Vérifier que e i/3+j²=0.

2. Dans le plan complexe, on considère trois points A,B,C deux à deux distincts, d'affixes respectives a,b,c.
a) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si (c-a)/(b-a)= ei/3.
b) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si :

a + bj + cj²= 0.

3. A tout nombre complexe z 1, on associe les points R, M et M' d'affixes respectives 1,z et le conjugué de z.
a) Pour quelles valeurs de z les points M et M' sont-ils distincts ?
b) En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l'ensemble () des points M d'affixe z tels que le triangle RMM' soit équilatéral direct est une droite privée d'un point.

[Sa Majesté]

(c-a)/(b-a)= ei/3=-j² d'après 1c

[Mamate7]

(c-a)/(b-a)= ei/3=-j² d'après 1c

oui mais après ? j'ai déjà essayer en faisait un système, je n'y arrive pas!

1+ j + j^2=0
ei/3 + j^2=0
c-a= ei/3 ( b-a)

[annick]

Bonsoir,
on a :

(c-a)/(b-a)=-j² et 1+j+j²=0 soit -j²=1+j

Donc :

c-a=b+bj-a-aj

d'où :

c+b(-1-j)+aj=0 d'où :
c(-j²-j)+b(j²)+aj=0 car c est multiplié par 1 et 1=-j²-j

Soit :

j[c(-j-1)+bj+a]=0 or-j-1=j²

d'où :

a+bj+cj²=0

A chaque fois, on tourne autour des différentes présentations de 1+j+j²=0