X^3+y^3+z^3 multiple de 9, c'est possible?

[Hurykhan]

Bonjour,

Je suis face de ce problème:

On appelle N le nb x^3+y^3+z^3.
x,y,z appartenant à Z

1- Dans un premier temps, on suppose que z=0.
On se demande s'il existe des couples (x;y) tq x^3+y^3 soit un multiple de 9.

a- Emettre une conjecture la plus précise possible, à l'aide par exemple d'un tableur...

Je trouve ça:

x^3+y^3=9k

Si k= / couple
-4 pas de couple
-3 (-3,0) et (0;-3)
-2 pas de couple
-1 (-2;-1) ( -1,-2)
0 (0;0)
1 (2.1) ( 1.2)
2 pas de couple
3 ( 3.0) ( 0.3)
4 pas de couple
5 pas de couple
6 (3.3)
Et?

Ben, je n'arrive pas à trouver de conjecture, d'où mon interrogation...
La somme x+y = 3k' ?
Ou alors, j'ai très mal cherché, et je suis un boulet..


J'ai quelques autres questions, et je dois en déduir:
Donnez tous les couples x,y,z tq N soit divisible par 9 ...

Merci d'avance!

[Sa Majesté]

Salut
A ta place j'aurais utilisé le tableur différemment
Tu prends x=1 par ex
Tu regardes tous les y tels que x^3+y^3 est divisible par 9
Tu dois remarquer qqch
Puis tu fais pareil avec x=2, puis x=3 et d'autres si besoin

[Hurykhan]

Merci votre Majesté!
Je vous tiens au courant !

[chan79]

Bonjour
on peut remarquer que si x=3k+a (a et k entiers), alors x³ est divisible par 9 si a³ est divisible par 9

envisage les différents cas
x=3k ou 3k+1 ou 3k+2
y=3k' ou 3k'+1 ou 3k'+2

[Hurykhan]

Je viens de passer quelques minutes a essayer de comprendre votre message, mais là...
Je ne vois pas ce que viens faire ceci ici.

Cela correspondrait plutôt à ma question b:
Déterminer les restes de la division euclidienne de x par 9 pour x entier relatif.
En déduite:

x^3 cg ( congru ) 0 [9] ssi x cg 0 [9]
1 1
8 2

Là, on a donc une périodisité de 3, or selon le théorème de la division euclidienne par 3, tout nombre peut s'écrire:
3k, 3K+1, 3K+2
non?

[Hurykhan]

Merci Majesté!
On trouve une périodisité de 3 pour y.
Sachant que x+y = 3L avec L appartenant à Z .
Merci !